高考数学第1轮总复习 全国统编教材 12.1数学归纳法及其应用(第1课时)课件 理 课件.ppt

第十二章极限与导数考点搜索1.从一系列有限的①得出②—————————的推理方法叫做归纳法.2.对一个与正整数n有关的命题：第一步：验证当n取③时命题成立；第二步：假设当④时命题成立证明当⑤时命题也成立.在完成了这两个步骤以后就可以断定命题对于从⑥开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法.3.数学归纳法需要完成两个步骤的证明缺一不可.其中第一步是奠基步骤是⑦————————的基础；第二步反映了无限递推关系即命题的正确性具有⑧.若只有第一步而无第二步则只是证明了命题在特殊情况下的正确性；若只有第二步而无第一步那么假设n=k时命题成立就没有根据递推无法进行.1.设那么f(n+1)-f(n)等于()解：2.凸n边形有f(n)条对角线则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)为()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2解：由n边形到n+1边形增加的对角线是增加的一个顶点与原(n-2)个顶点连成的(n-2)条对角线及原先的一条边成了对角线.故选C.题型1用数学归纳法证明恒等式、不等式则当n=k+1时所以当n=k+1时等式也成立.综合(1)(2)知对一切正整数n等式都成立.点评：运用数学归纳法证明恒等式(不等式)的要点是“两步一结论”即第一步先验证初始结论；第二步是先假设n=k时命题成立再由n=k时的命题作条件推导n=k+1时结论也成立；一结论是指最后归纳前面两个步骤得出原结论是成立的.所以当n=k+1时不等式也成立.综合(1)(2)知对于一切大于1的自然数不等式都成立.1213题型2用数学归纳法证明整除性问题=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a+1)2k+3-a(a+1)2k+1=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a2+a+1)(a+1)2k+1.因为ak+2+(a+1)2k+1与a2+a+1都能被a2+a+1整除所以上面的和也能被a2+a+1整除.即当n=k+1时ak+3+(a+1)2k+3能被a2+a+1整除.综合(1)(2)知命题对任何n∈N*都成立.点评：用数学归纳法证明整除问题的关键是第二步的配凑变形即把n=k+1的命题形式通过添项配凑成n=k时的结论加除式的倍式的形式.已知f(n)=(2n+7)·3n+9是否存在自然数m使对任意n∈N*都有m整除f(n)？如果存在求出最大的m值并证明你的结论；如果不存在说明理由.解：由f(1)=36f(2)=108f(3)=360f(4)=1224猜想f(n)被36整除.证明：(1)当n=1时猜想显然成立.(2)假设当n=k时f(k)能被36整除即(2k+7)·3k+9能被36整除.则当n=k+1时f(k+1)=［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1).由假设知3［(2k+7)·3k+9］能被36整除而3k-1-1是偶数所以18(3k-1-1)能被36整除从而f(k+1)能被36整除.综合(1)(2)知对任意n∈N*f(n)能被36整除.由于f(1)=36故36是整除f(n)的自然数m的最大值.平面内有n个圆其中每两个圆都相交任何三个圆都无公共点证明：这n个圆把平面分成n2-n+2个区域.证明：(1)当n=1时一个圆把平面分成两个区域而12-1+2=2所以命题成立.(2)假设当n=k时命题成立即k个圆把平面分成k2-k+2个区域.则当n=k+1时第k+1个圆与原有的k个圆共有2k个交点这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧其中每段弧都把它所在的区域分成了两部分因此共增加了2k个区域.所以这k+1个圆把平面分成k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域即当n=k+1时命题也成立.综合(1)(2)知对任意n∈N*命题都成立.1.数学归纳法的第一步有时要验证从n0开始的多个正整数命题成立这主要取决于从k到k+1的奠基是什么数.如果假设当n=k时命题成立并要求当k≥m时才能得出n=k+1时命题也成立则第一步必须验证从n0到m的各个正整数命题都成立.2.第二步的证明必须运用“归纳假设”作为证明n=k+1时命题成立的条件否则就不是数学归纳法了.3.“归纳假设”可以是一个式子(等式或不等式)也可以是一段具有数学意义的数学语言有时需要对它作适当变通而不是机械地套用.4.如果命题是对正奇数(或正偶数)成立则假设n=k时命题成立后要证明n=k+2时也命题成立