高考数学第1轮总复习 全国统编教材 12.1数学归纳法及其应用(第2课时)课件 理 课件.ppt

第十二章极限与导数题型3用数学归纳法探求数列的通项公式证明:(1)当n=1时结论成立.(2)假设当n=k时结论成立即则当n=k+1时所以当n=k+1时结论也成立.综合(1)(2)知数列{an}的通项公式是点评：“归纳—猜想—证明”是求数列的通项公式与前n项和公式的常用方法也是近几年高考理科数学试卷中数列问题的一个主要类型应引起足够的重视.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).(1)计算a1a2a3a4并由此猜想通项公式an;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.解：(1)当n=1时a1=S1=2-a1所以a1=1;当n=2时a1+a2=S2=2×2-a2所以a2=;当n=3时a1+a2+a3=S3=2×3-a3所以a3=;当n=4时a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4所以a4=.由此猜想(2)证明:①当n=1时a1=1结论成立.②假设n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立即那么当n=k+1(k≥1且k∈N*)时ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以2ak+1=2+ak所以这表明n=k+1时结论也成立.由①②知猜想成立.题型4用数学归纳法探求数列的有关性质(2)假设当n=k时ak+bk=1即bk=1-ak成立则ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1所以当n=k+1时结论成立.综合(1)(2)知对任意n∈N*都有an+bn=1.故an+bn=1为定值.点评：探求数列中的有关性质一般是先观察n=123时的命题的性质对这几项进行归纳、分析猜想出一般性的结论然后用数学归纳法来证明.已知数列{an}是公差不为零的等差数列且a4是a2与a8的等比中项设bn=anan+1an+2Sn为数列{bn}的前n项和试推断是否存在常数p使对一切n∈N*都有pa1Sn=bnan+3成立？说明你的理由.解：设数列{an}的公差为d(d≠0).由已知得a2a8=a42所以(a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2则a1=d所以an=nd.(1)当n=1时所以4a1S1=b1a4成立.(2)假设当n=k时4a1Sk=bkak+3成立即则所以4a1Sk+1=bk+1ak+4即n=k+1时有4a1Sn=bnan+3成立.综合(1)(2)知存在常数p=4使对一切n∈N*都有pa1Sn=bnan+3成立.3.已知数列{an}满足:证明：证法1：(1)当n=1时因为所以不等式成立.(2)假设当n=k时不等式成立即则因为所以所以即当n=k+1时不等式成立.综合(1)(2)知对任意n∈N*都成立.证法2：(1)当n=1时所以不等式成立.当n=2时所以不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立即因为函数在［0］上是增函数所以即所以当n=k+1时不等式成立.综合(1)(2)知对任意n∈N*都成立.证法3：(1)同证法1.(2)假设当n=k时不等式成立即若则若则所以当n=k+1时不等式成立.综合(1)(2)知对任意n∈N*都成立.点评：用数学归纳法证明不等式的关键是“变形”即在归纳假设的基础上通过放缩、比较、综合等证明不等式的方法得到要证明的目标不等式.已知数列{an}的通项求证：证明：(1)当n=1时所以不等式成立.(2)假设n=k时不等式成立即成立.则当n=k+1时所以当n=k+1时不等式成立.综合(1)(2)知对任意n∈N*不等式都成立.1.数学归纳法原理类似于“多米诺骨牌游戏”其实质是逐一验证对一切从n0开始的正整数命题都成立它是一种从有限验证无穷的数学方法.2.归纳法是推理的方法数学归纳法是证明的方法由归纳法得出的结论不一定正确只有用数学归纳法证明后才能确定其真实性.3.“归纳——猜想——证明”是求解某些探索性问题的一种重要的思想方法它在数列问题中有着广泛的应用必须熟练掌握.4.数学归纳法应用中的存在性问题应先取特殊值求得参数取值然后再用数学归纳法严格证明不需再考虑参数其他取值情况.5.在用数学归纳法证明数列不等式时需要从