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2011《金版新学案》高三数学一轮复习空间的垂直关系随堂检测理新人教B版(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!)一、选择题(每小题6分,共36分)1.(2009年山东卷)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β,反过来则不一定.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.【答案】B2.(2009年广东卷)给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④【解析】当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对;由平面与平面垂直的判定可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.【答案】D3.(2008年宁夏卷)已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β【解析】如下图所示AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β,故选D.【答案】D4.如右图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线CA上D.△ABC内部【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(CA⊥AB,CA⊥BC1))⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1,∴过C1作垂直于平面ABC的线在面ABC1内,∴H∈AB.【答案】A5.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列四个命题中,错误命题的个数是()①α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;②若m⊂α,n⊂α,且m∥β,n∥β,则α∥β;③若α⊥β,m⊂α,则m⊥β;④若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α.A.1B.2C.3D.4【解析】①错,两平行平面内任意两直线可平行或异面;②错,只有两个平面内的两条相交直线互相平行,两个平面才平行;③由面面垂直的性质定理可知当且仅当直线m垂直两平面交线时,命题才成立;④空间想象易知命题成立,综上可知只有④是正确的,其他三个命题均错误,故选C.【答案】C6.如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥A1-ABC的面是直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】据题意由AA1⊥平面ABCD,可得三角形AA1B,AA1C为直角三角形,又易推出BC⊥平面AA1B,故三角形A1BC和ABC为直角三角形,即此四面体各个面均为直角三角形.【答案】D二、填空题(每小题6分,共18分)7.已知直线a和两个平面α,β,给出下列四个命题:①若a∥α,则α内的任何直线都与a平行;②若a⊥α,则α内的任何直线都与a垂直;③若α∥β,则β内的任何直线都与α平行;④若α⊥β,则β内的任何直线都与α垂直.则其中________是真命题.【解析】若a∥α,则α内的无数直线都与a平行,但不是任意一条,即①不正确;若a⊥α,则α内的任何直线都与a垂直,即②正确;若α∥β,则β内的任何直线都与α平行,即③正确;若α⊥β,则β内有无数条直线都与α垂直,但不是任意一条,即④不正确.综上可得②、③为真.【答案】②、③8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【解析】由定理可知,BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)9.正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为________.【解析】由题意知:点P的轨迹为如图所示的三角形EFG,其中G、F为中点,∴EF=eq\f(1,2)BD=eq\r(2),GE=GF=eq\f(1,2)SB=eq\f(\r(6),2),∴轨迹的周长为eq\r(2)+eq\r(6).【答案】eq\r(2)+eq\r(6)三