用放缩法证明不等式 学法指导 不分版本 试题.doc

用放缩法证明不等式徐加生戴加荣所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证。证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋（a＋b）2，即（a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜，故有1＜a＋b＜。例2.已知a、b、c不全为零，求证：证明：因为，同理，。所以二.分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：。证明：由于a、b、c为正数，所以，，，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则为真分数，则，同理，，故.综合得。三.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求。证明：因为，则，证毕。例5.已知且，求证：对所有正整数n都成立。证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。四.公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例6.已知函数，证明：对于且都有。证明：由题意知又因为且，所以只须证，又因为所以。例7.已知，求证：当时。证明：证毕。五.换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。例8.已知，求证。证明：因为，所以可设，，所以则，即。例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有，当且时，求证：。证明：由于，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为，，则当时，，，所以。六.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a，b∈R，求证。证明：构造函数，首先判断其单调性，设，因为，所以，所以在上是增函数，取，，显然满足，所以，即。证毕。