导数用于证明不等式 学法指导 不分版本 试题.doc

导数用于证明不等式扬莉导数是近些年来高中课程加入的新内容，是一元微分学的核心部分。本文就谈谈导数在一元不等式中的应用。例1.已知x∈（0，），求证:sinx＜x＜tanx。证明；构造函数f(x)=x－sinx，g(x)=tanx－x，x∈（0，），则f'(x)=1－cosx＞0，g'(x)=sec2x－1＞0。所以f(x)，g(x)在（0，）内是单调递增函数，故f(x)＞f(0)=0，g(x)＞g(0)=0，即x＞sinx，tanx＞x，故sinx＜x＜tanx。这个三角不等式在相关教材中是用几何方法证明的。这里是构造函数，利用函数的单调性来证明，简单、快捷。例2.已知m，n为正整数，且1＜m＜n。求证：（1+m）n＞(1+n)m。分析：将待证不等式两边取对数，得nln(1+m)＞mln(1+n)，即证明成立即可。证明：构造函数f(x)=，求导，得，所以f(x)在［2，+∞）上是减函数。由2≤m＜n知f(m)＞f(n)，即，nln(1+m)＞mln(1+n)，所以ln(1+m)n＞ln(1+n)n，即（1+m）n＞(1+n)m。例3.已知函数f(x)=x(x－a)(x－b)，其中0＜a＜b，设f(x)在x=s及x=t取到极值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b。证明：易求得f'(x)=3x2－2(a+b)x+ab。由f(x)在x=s及x=t取到极值，知s，t是二次方程f'(x)=0的两实根，又f'(0)=ab＞0，f'(a)=a2－ab=a(a－b)＜0,f'(b)=b2－ab=b(b－a)＞0,即f'(x)=0在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根。由s＜t及s，得二次方程f(x')=0的两实根，得0＜s＜a＜t＜b。以上是用导数次三次函数“降次”转化为研究二次方程在（0，a）与（a，b）存在实根的问题，结合实根分布理论，运用数形结合的思想，实现了不等式的证明。例4.设函数f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx，0＜a＜b，证明：0＜g(a)+g(b)－2g()＜(b－a)ln2。证明：由g(x)=xlnx，得g'(x)=lnx+1。构造函数F（x）=g(a)+g(x)-2g()，则F'(x)=g'(x)-2[g()]'=lnx-ln。当0＜x＜a时，F'(x)＜0，所以F(x)在(0，a)内为减函数。当x＞a时，F'(x)＞0，所以F（x）在(a，+∞)上为增函数。于是当x=a时，F（x）有极小值F（a）。因为F（a）=0，b＞a，所以F（b）＞0，即0＜g(a)+g(b)-2g()。设G（x）=F(x)-(x-a)ln2，则G'(x)=lnx-ln=lnx-ln(a+x)。当x＞0时，G'(x)＜0，所以G（x）在(0，+∞)上为减函数。因为G（a）=0，所以G（b）＜0，即g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2。综上所述，0＜g(a)+g(b)-2g＜(b-a)ln2。用导数证明不等式，关键在于构造函数，然后在相应区间上用导数的相关知识判别其单调性，再利用单调性得到所证明的不等式。练习：证明下列不等式1.当x＞0时，1+＞。2.当x＞0时，1+xln(x+)＞3.当x＞4时，2x＞x24.已知函数f(x)=x2++alnx(x＞0)，f(x)的导函数是f'（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：（1）当a≤0时，；（2）当a≤4时，。