高三数学高考(理)总复习系列课件：2.4 函数的奇偶性人教大纲版 高三数学高考(理)总复习系列课件： 函 数人教大纲版 高三数学高考(理)总复习系列课件： 函 数人教大纲版.ppt

要点梳理1.奇函数、偶函数的概念一般地如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有_______________那么函数f（x）就叫做偶函数.一般地如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有_______________那么函数f（x）就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性一般都按照定义严格进行一般步骤是:（1）考查定义域是否关于____________；（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：若f（-x）=_______则f（x）为奇函数；若f（-x）=________则f（x）为偶函数；若f（-x）=_______且f（-x）=________则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x）则f（x）既不是奇函数又不是偶函数即非奇非偶函数.3.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填“相同”、“相反”）.(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是________两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是_________；③一个奇函数一个偶函数的积是_________.基础自测1.对任意实数x下列函数为奇函数的是（）A.y=2x-3B.y=-3x2C.y=ln5xD.y=-|x|cosx解析A为非奇非偶函数B、D为偶函数C为奇函数.设y=f(x)=ln5x=xln5∴f（-x）=-xln5=-f（x）.2.（2008·全国Ⅱ理）函数的图象关于（）A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称解析∵∴f（x）是奇函数.∴f（x）的图象关于原点对称.3.下列函数中既是奇函数又在区间[-11]上单调递减的函数是（）A.f(x)=sinxB.f(x)=-|x-1|C.D.解析∵函数是奇函数排除B、C（B中函数是非奇非偶函数C中是偶函数）∵［-11］∴f（x）=sinx在[-11]上是增函数排除A故选D.4.已知f(x）=ax2+bx是定义在[a-12a]上的偶函数那么a+b的值是（）A.B.C.D.解析依题意得5.（2008·福建理）函数f（x）=x3+sinx+1(x∈R)若f（a）=2则f（-a）的值为（）A.3B.0C.-1D.-2解析设g(x)=x3+sinx很明显g(x)是一个奇函数.∴f（x）=g（x）+1.∵f（a）=g（a）+1=2∴g（a）=1∴g（-a）=-1∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.题型一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)判断函数的奇偶性应先检查定义域是否关于原点对称然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等或相反.解(1)定义域关于原点对称.故原函数是奇函数.(2)≥0且1-x≠0-1≤x<1定义域关于原点不对称故原函数是非奇非偶函数.(3)定义域为(-∞0)∪(0+∞)定义域关于原点对称又当x>0时f(x)=x2+x则当x<0时-x>0故f(-x)=x2-x=f(x);当x<0时f(x)=x2-x则当x>0时-x<0故f(-x)=x2+x=f(x)故原函数是偶函数.判断函数的奇偶性其中包括两个必备条件:一是定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件所以首先考虑定义域对解决问题是有利的;二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数分段函数奇偶性的判断要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立只有当对称的两个区间上满足相同关系时分段函数才具有确定的奇偶性.知能迁移1