高三数学一轮复习 3.3 等比数列及其性质课件 文 大纲人教版 课件.ppt

1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式并能解决简单的实际问题．1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义：如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的比等于这个数列就叫做等比数列其中常数叫做等比数列的记作q.(2)通项公式：等比数列{an}的首项为a1公比为q则称an＝为数列{an}的通项公式．提示：等比数列的定义与等差数列的定义从字面上看相似就是“比”与“差”的区别但等比数列隐含着数列的各项不为零公比不为零项与公式的正负号有着密切的关系等等．3．等比数列的重要性质(1)若m＋n＝p＋q则aman＝apaq(mnpq∈N*)．(2)an＝a1qn－1可推广为an＝amqn－m.(3)设等比数列{an}的首项为a1公比为q.①当q>1a1>0或0<q<1a1<0时数列{an}为递增数列；②当q>1a1<0或0<q<1a1>0时数列{an}为递减数列；③当q＝1时数列{an}是(非零)常数列；④当q<0时数列{an}是摆动数列．提示：等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形熟练掌握和灵活运用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题1．如果－1abc－9成等比数列那么()A．b＝3ac＝9B．b＝－3ac＝9C．b＝3ac＝－9D．b＝－3ac＝－9解析：当公比q＝1时an＝a3＝7S3＝21满足条件；当公比q≠1时有解得q＝答案：C3．(2009·广东卷)已知等比数列{an}的公比为正数且a3·a9＝2aa2＝1则a1＝()A.B.C.D．24．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1a＋1a＋4则an＝________.解析：由已知：(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)得a＝5则a1＝4q＝∴an＝4·1.对于等比数列的有关计算问题可类比等差数列问题进行在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1的判断和讨论．【例1】已知{an}为等比数列a3＝2a2＋a4＝求{an}的通项公式．思维点拨：根据等比数列定义、通项公式及性质建立首项公比的方程组．解法二：由a3＝2得a2a4＝4又a2＋a4＝则a2a4为方程x2－x＋4＝0的两根解得(1)证明数列是等比数列的两个基本方法是：【例2】已知数列{an}满足a1＝1a2＝3an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；思维点拨：(1)构造新数列{an＋1－an}；(2)累加求和得an.证明：(1)∵an＋2＝3an＋1－2an∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)∴＝2(n∈N*)．又∵a1＝1a2＝3∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项2为公比的等比数列．(2)解：由(1)得an＋1－an＝2n(n∈N*)∴an－an－1＝2n－1an－1－an－2＝2n－2⋮a3－a2＝22a2－a1＝21以上式子相加得：an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2∴an＝2n－1.变式2：(1)已知数列{cn}其中cn＝2n＋3n且{cn＋1－pcn}为等比数列求常数p；(2)设{an}{bn}是公比不相等的两个等比数列cn＝an＋bn证明数列{cn}不是等比数列．解：(1)因为{cn＋1－pcn}是等比数列故有(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)(cn－pcn－1)．将cn＝2n＋3n代入上式得[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)](2)设{an}{bn}的公比分别为pqp≠qcn＝an＋bn.求证{cn}不是等比数列只需证c≠c1·c3.巧用性质可以减少计算量同时需要有敏锐的观察能力和应对能力．解：解法一：设依次n项之和分别为：A1A2A3…则有A1＝2A2＋A3＝12A4＋A5＋A6＝S而数列{An}为等比数列公比为qn∴A2＋A3＝2qn＋2q2n∴2qn＋2q2n＝12∴q2n＋qn－6＝0∴qn＝2或qn＝－3.当qn＝2时S＝A4＋A5＋A6＝2×23＋2×