函数与不等式 学法指导 不分版本 试题.doc

函数与不等式马吉超不等式与函数的关系很密切，当不等式中问题用常规方法不易解决时，不妨考虑用函数观点进行分析，可能比较容易求解，为此，本文介绍函数观点在不等式的证明、求最值及确定参数范围等方面的应用。例1.设，求证：分析：观察题目特点，可以把不等式两边看成函数的两个值，不妨应用该函数的单调性求解。证明：令由知：在区间上是增函数因为，所以即说明：本题亦可改为求证。例2.若，且。求证：分析：注意到本题的特点，可构造函数，再利用单调性证明。证明：易证函数是R上的单调增函数（证明略）。因为，即所以，即所以同理由<1>＋<2>＋<3>，得：所以例3.设都是正数，证明对任意正整数n，下面不等式成立：分析：注意到平方这一特殊，可构造二次函数，利用判别式法证之。证明：令则对一切x均成立。由函数的图象开口向上，知即说明：本题亦可用柯西不等式证明。例4.若，且，求的最小值。分析：构造函数，求出的范围，再利用函数的单调性求解。解：易证函数在区间（0，1］内是减函数（证明略）由条件，得所以在上的最小值是即的最小值是例5.已知，，，求e的最大值。解：构造函数所以即所以故e的最大值是。例6.若不等式对一切正整数n都成立，求a的范围。分析：本题实际上只需求出不等式左边的最小值，参数的范围就会迎刃而解，可以利用函数的单调性求最小值。解：构造函数则有即所以在上是增函数故的最小值是又已知对一切正整数n都成立所以即例7.设，B是关于x的不等式组的解集，试确定a，b的范围使。分析：直接求解不等式很困难，可以根据不等式组构造两个函数进行求解。解：构造函数要使必须使得与在［1，3］上的图象均在x轴的下方（包括x轴），则有即所以通过以上的讨论，我们可以总结出函数构造的主要方法：依据不等式的特征先构造出某个区间上的单调函数，再利用函数的单调性确定大小、最值及范围等；若构造二次函数，再利用二次函数的图象特征、判别式等得出所求解的结论。