中学高二数学上学期期中试题 理(含解析).doc

2016-2017北京市顺义牛栏山第一中学高二期中考试数学试题理科一、选择题（每小题5分，共40分）1．直线的倾斜角和斜率分别是（）．A．，B．，C．，不存在D．，不存在【答案】C【解析】∵直线垂直于轴，∴倾斜角为，斜率不存在，故选．2．已知两条直线，，若，则（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】∵直线和互相垂直，∴，即，解得，故选．3．圆心为且过原点的方程是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】圆心到原点的距离为，所以圆的方程为，故选．4．下列命题正确是（）．A．垂直于同一直线的两直线平行B．垂直于同一平面的两平面平行C．平行于同一平面的两直线平行D．垂直于同一直线的两平面平行【答案】D【解析】项，在空间，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，平行或异面，故错误；项，垂直于同一平面的两平面平行或相交，故错误；项，平行于同一平面的两条直线有可能相交，平行或异面，故错误；项，垂直于同一直线的两平面平行，故正确．综上所述，故选．5．直线过点且与圆有两个交点时，斜率的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线为，因为直线与圆有两个交点，所以圆心到直线的距离小于半径，即，解得，故选．6．椭圆上一点，以及点及、为顶点的三角形面积为，则点的坐标为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，∵，∴，，∴点的坐标为，故选．7．某三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】根据三视图画出该几何体的直观图，如图所示：；；；，所以三棱锥的表面积，故选．8．棱长为的正四面体内有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为，，，，则（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】从与各顶点相连，构成个小棱锥，如图所示：因为正四面体的边长为，其高为，则，∴，∴，故选．二、填空题（每小题5分，共30分）9．直线在轴上的截距为__________．【答案】【解析】令，解得，故直线在轴上的截距为．10．圆的圆心坐标为__________．【答案】【解析】化为标准方程为，所以圆心坐标为．11．以为圆心，并且与直线相切的圆的方程为__________．【答案】【解析】因为点到直线的距离，所以由题意可知，故所求圆的方程为：．12．某四棱锥三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为__________．【答案】【解析】由三视图画出四棱锥的直观图，如图所示，底面是正方形，底面，所以最长的棱为．13．已椭圆的离心率为，则__________．【答案】或【解析】椭圆化成标准方程得，∵椭圆的离心率为，∴，，∴或，故或．14．设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】设直线与轴的交点为，连接，∵的中垂线过点，∴，可得，又∵，且，∴，即，∴，，结合椭圆的离心率，得，故离心率的取值范围是．三、解答题（共80分）15．已知圆内有一点合，过点作直线交圆于，两点（Ⅰ）当弦被点平分时，写出直线的方程．（Ⅱ）当直线的斜率为时，求弦的长．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）当弦被点平分时，，∵，∴，∴直线的方程为，即．（Ⅱ）当直线斜率为时，直线的方程为，圆心到直线的距离，圆的半径为，故弦．16．在直棱柱中，已知，设中点为，中点为．（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）求证：平面平面．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：连结，∵是的中点，∴是的中点，∵在中，是的中点，是的中点，∴，又平面，平面，∴平面．（Ⅱ）证明：∵是直棱柱，∴平面，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面．17．已知直线过点且与直线平行，直线过点且与直线垂直．（Ⅰ）求直线，的方程．（Ⅱ）若圆与，，同时相切，求圆的方程．【答案】见解析【解析】解：（）设，将代入得，，故，设，将代入得，故．（）联立，解得，，联立，解得，，所以圆心坐标为或．又到的距离，∴．故与，，都相切的圆的方程为或．18．椭圆一个焦点为，离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程式．（Ⅱ）定点，为椭圆上的动点，求的最大值；并求出取最大值时点的坐标求．（Ⅲ）定直线，为椭圆上的动点，证明点到的距离与到定直线的距离的比值为常数，并求出此常数值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）根据题意得，，∴，，，故椭圆的方程为．（Ⅱ）设点坐标为，则，，∵，∴当时，取得最大值．∴最大值为，此时点坐标为．（Ⅲ）设点，则，点到的距离为：，，到直线的距离为，∵，故到的距离与到定直线的距离之比为常数．19．在四棱锥中，底面为矩形，测棱底面，，点是的中点，作交于．（Ⅰ）求证：平面平面．（Ⅱ）求证：平面．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：∵底面，平面，∴，又∵底面为矩形，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）证明：∵，是中点，∴，又平面平面，平面平面，∴平面，∴，又∵，，∴平面．20．已知椭圆的标准方程为，点．（Ⅰ）