高二数学（文）复数综合（文）人教实验版（B）知识精讲.doc

用心爱心专心高二数学（文）复数综合（文）人教实验版（B）【本讲教育信息】一、教学内容：复数综合二、学习目标掌握复数的概念及分类，复数运算的法则，能够运用法则解决相关的问题，理解并能灵活运用复数的几何意义。三、考点分析1、知识结构：2、复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，但注意在运算的过程中常用来降幂的公式有：（1）i的乘方：；（2）；（3）设，则（）等。（4）。（5）作复数除法运算时，有如下技巧：，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化。【典型例题】例1、已知，求z解：设（），代入已知方程得。即。由复数相等定义得由②得y＝3，代入①，。平方得解得。。例2、计算：（1）的平方根。（2）解：（1）设复数的平方根为则由解得或或所以的平方根为或（2）原式例3、设复数z满足，，求z的值和的取值范围。分析：题目涉及到共轭复数、模以及复数的加、减运算，把Z表示成代数形式，依复数相等的充要条件求出Z的值。解：设代入条件中得即故所求的的取值范围是[0，2]例4、已知z1＝x2＋i，z2＝（x2＋a）i对于任意x∈R均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围。分析：求出|z1|及|z2|，利用|z1|＞|z2|问题转化为x∈R时不等式恒成立问题。解：∵|z1|＞|z2|，∴x4＋x2＋1＞（x2＋a）2。∴（1－2a）x2＋（1－a2）＞0对x∈R恒成立。当1－2a＝0，即a＝时，不等式成立；当1－2a≠0时，－1＜a＜。综上，a∈（－1，）。点评：本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围。例5、设z是虚数，是实数，且。（1）求的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：u为纯虚数。（3）求的最小值。分析：（1）常规题目。设化简，找出实部、虚部可列出等量关系式，求解（2）证明u为纯虚数，可按定义证明实部为零，虚部不为零，还可证（3）需求的最小值，由（1）（2）知w与均为实数，所以可先建立的函数关系式，再设法求出最小值。解：（1）是虚数，所以可设是实数且，即此时由得即z的实部的范围是（2）证法一：（用<1>中结论）为纯虚数证法二：为虚数，且即为纯虚数（3）于是当且仅当，即时等号成立的最小值为1，此时【模拟试题】一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1、复数的值是（）A.4iB.－4iC.4D.－42、设，则（）A.B.C.D.3、设，，，则等于（）A.B.C.D.4、若，则z对应的点的轨迹是（）A.圆B.两点C.线段D.直线5、复数，且，则是（）A.实数B.纯虚数C.非纯虚数D.复数6、若是关于x的方程的一个根，则q的值为（）A.26B.13C.6D.5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7、计算：___________8、计算：_________9、的模等于_________10、若，且，则____________三、解答题（本大题共4题，共50分）11、已知。（1）设，求；（2）如果，求实数a、b的值。12、要使复数＝＋为纯虚数，其中实数是否存在？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。13、若复数z满足，求的最大、最小值。14、设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2。（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u＝，求证：u为纯虚数；（3）求ω－u2的最小值。试题答案1、解：本小题主要考查复数的基本知识，利用复数代数形式的运算法则解决此类问题。。答案：D2、C提示：由知或3、C4、A提示：设，则即即，这是以为圆心，以2为半径的圆的方程。5、B提示：设（由，知）6、A7、原式提示：由的周期性，得，，……，，可见原式，或把看作是一个公比为i的等比数列，则原式。8、原式提示：注意利用简化运算9、1310、提示：设，则又则有联立得即11、解析（1）∵，∴。（2）由，把代入得，∴。∴。∴，。12、解：要使复数为纯虚数，必须且０，即，解得但是，当时＝０此时不是纯虚数当时，无意义所以不存在实数使为纯虚数。13、解法一：数形结合法设，则化简，得表示点到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上由平面几何知识，可知|z|的最大值为，最小值为解法二：利用复数的模的性质即，去绝对值，得解这个关于的不等式，得当时，上式取等号由（*），把代入（*）得，解得或当时，取最大值；当时，取最小值14、解：（1）设z＝a＋bi（a、b∈R，b≠0），则ω＝a＋bi＋＝（a＋）＋（b－）i。∵ω是实数，b≠0，∴a2＋b2＝1，即|z|＝1。∵ω＝2a，－1＜ω＜2，∴z的实部的取值范围是（－，1）。（2）证明：u＝＝＝＝＝－i。∵a∈（－，1），b≠0，∴u为纯虚数。（3）解：ω－u2＝2a＋＝2a＋＝2a－＝