人教版高中数学(理科)选修数学归纳法及其应用举例 同步练习2.doc

用心爱心专心数学归纳法及其应用举例同步练习一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．若f（n）=1+（n∈N*），则当n=1时，f（n）为A．1B．C．1+D．非以上答案2．用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是A．1B．1+aC．1+a+a2D．1+a+a2+a33．某个命题与自然数n有关，如果当n=k（k∈N*）时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立．现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得A．当n=6时该命题不成立；B．当n=6时该命题成立C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立4．如果命题P（n）对n=k成立，则对n=k+2也成立，又若P（n）对n=2成立，则下列结论正确的是A．P（n）对所有自然数n成立B．P（n）对所有正偶数n成立C．P（n）对所有正奇数n成立D．P（n）对所有大于1的自然数n成立5．已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+an－1（n∈N*），用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，应证A．a4k+1能被4整除B．a4k+2能被4整除；C．a4k+3能被4整除D．a4k+4能被4整除6．用数学归纳法证明，“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”时，第2步归纳假设应写成A．假设n=2k+1（k∈N*）时正确，再推证n=2k+3时正确B．假设n=2k－1（k∈N*）时正确，再推论n=2k+1时正确C．假设n=k（k≥1）时正确，再推论n=k+2时正确D．假设n≤k（k≥1）时正确，再推论n=k+2时正确二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）7．连续两个自然数之积一定能被2整除，连续三个自然数之积一定能被___________整除；连续四个自然数之积一定能被___________整除．8．a1=，an+1=，猜想an=___________．9．已知数列，…，，…计算得S1=，S2=，S3=，…由此可猜测：Sn=___________．10．用数学归纳法证明“对一切正整数n，都有2n+2＞n2”这一命题时，证明过程中的第（1）步，n应该验证___________．11．用数学归纳法证明命题：当n∈N时，11n+2+122n+1能被133整除，假设n∈k，k∈N*时命题成立，推论n=k+1时命题也成立，应添加的辅助项为___________．三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）12．用数学归纳法证明（3n+1）·7n－1能被9整除（n∈N*）．13．是否存在常数a、b使等式对一切n∈N*都成立．14．已知正数数列{an}（n∈N*）中，前n项和为Sn，且2Sn=an+，用数学归纳法证明：an=．参考答案：一、1．C2．C3．C4．B5．D6．B二、7．6248．9．10．n=1，2，3时命题成立11．11·122k+1－11·122k+1或144·11k+2－144·11k+2三、12．证明：（1）n=1时，4×7－1=27能被9整除．（2）假设n=k（k∈N*），（3k+1）·7k－1能被9整除．那么，当n=k+1时，［3（k+1）+1］·7k+1－1=［（3k+1）+3］（1+6）·7k－1=（3k+1）·7k－1+（3k+1）·6·7k+21·7k=［（3k+1）·7k－1］+（3k·6·7k）+（6+21）·7k以上三式均能被9整除，则n=k+1时，命题成立．据（1）（2）可知，命题对一切正整数n都成立．13．证明：令n=1，2，得现用数学归纳法证明对n∈N*，都有证明：（1）当n=1时，由上可知等式成立（2）假设n=k时，（k∈N*），等式成立即成立当n=k+1时====∴n=k+1时，等式成立，由（1）（2）知．对一切n∈N*，等式都成立．14．证明：（1）当n=1时．a1=S1=∴a12=1（an＞0）∴a1=1，又=1∴n=1时，结论成立．（2）假设n=k时，（k∈N*），结论成立，即ak=当n=k+1时，ak+1=Sk+1－Sk===∴ak+12+2ak+1－1=0解得ak+1=－（an＞0）∴n=k+1时，结论成立由（1）（2）可知，对n∈N*都有an=．