高考数学复习专题 函数与导数.doc

用心爱心专心教育是我们一生的事业高考数学复习专题函数与导数以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向。一、考情预测1．考查导数与函数最值问题设y=f(x)为可导函数，函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零或不存在且该点两侧的导数异号；定义在闭区间上的初等函数必存在最值，它只能在区间的端点或区间内的极值点取得。高考常结合求函数极值(最值)、参数取值范围、解决数学应用等问题考查导数最值性质在函数问题中的应用。2．考查导数与函数单调性问题设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)>0，则f(x)为增函数；如果f'(x)<0则f(x)为减函数。反之亦然。高考常以函数单调区间、单调性证明等问题为载体，考查导数的单调性质和分类讨论思想的应用。3．考查导数与函数图象切线问题函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)是曲线y=f(x)在点(x0f(x0))处切线的斜率。高考常结合函数图象的切线及其面积、不等式等问题对导数几何意义的应用进行考查。4．考查导数与函数不等式证明问题构造函数，运用导数在函数单调性方面的性质，可解决不等式证明、参数取值范围等问题。设置此类试题，旨在考查导数基础性、工具性、现代性的作用，以强化数学的应用意识。5．考查导数与函数建模问题设计导数与数学建模问题，旨在考查将实际问题抽象为数学问题，运用导数性质或不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识与实践能力。求解此类问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征，确定运用导数最值理论或不等式性质去解决问题。二、高考题例1.（2005年湖南卷）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.解：（I），则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.（II）证法一设点P、Q的坐标分别是（x1,y1），（x2,y2），0<x1<x2.则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2.即，则=所以设则①令则因为时，，所以在）上单调递增.故则.这与①矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.证法二：同证法一得因为，所以令，得②令因为，所以时，故在[1，+上单调递增.从而，即于是在[1，+上单调递增.故即这与②矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.2.（2004年高考理科数学全国卷II）已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分14分.（1）解：函数的定义域为.令当当又故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0.（2）证法一：由（Ⅰ）结论知由题设因此所以又综上证法二：设则当在此内为减函数.当上为增函数.从而，当有极小值因此即设则当因此上为减函数.因为即3.(2005年全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x，容器的体积为V，则V=（90-2x）（48-2x）x,(0<V<24)=4x3-276x2+4320x∵V′=12x2-552x+4320由V′=12x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36∵x<10时，V′>0,10<x<36时，V′<0,x>36时，V′>0,所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960又V(0)=0,V(24)=0,所以当x=10,V有最大值V(10)=1960三、经典例题1.设函数（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值（1）求