2008高考数学专题讲座 函数与导数.doc

用心爱心专心115号编辑2008高考数学专题讲座函数与导数已知函数若函数图象上任意不同两点连线的斜率都小于1，则；若[0，1]，函数图象上任一点切线的斜率为，求时的取值范围。解答（1）设A（，B（是函数图象上任意不同两点，则，显然，不妨设，则，即，构造函数，则在R上是减函数，则在R上恒成立，故，解之得（2）当[0，1]时，，即对任意的[0，1]，，即在[0，1]成立，由于，则必需满足或或，解得此题融三次函数、导数、二次函数等问题于一体，在方法上主要是利用函数的单调性、区间最值等问题。2．（本小题满分12分）设函数f(x)＝|x－m|－mx，其中m为常数且m<0。（1）解关于x的不等式f(x)<0；（2）试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值.解：（1）由f(x)<0得，|x－m|<mx，得－mx<x－m<mx，即…①当m=－1时，x<－eq\f(1,2)………②当－1<m<0时，eq\f(m,1+m)<x<eq\f(m,1－m)……③当m<－1时，x<eq\f(m,1－m)…综上所述，当m<－1时，不等式解集为{x|x<eq\f(m,1－m)}当m=－1时，不等式解集为{x|x<－eq\f(1,2)}当－1<m<0时，不等式解集为{x|eq\f(m,1+m)<x<eq\f(m,1－m)}…（2）f(x)=∵m<0，∴1－m>0，f(x)在[m，+∞)上单调递增，要使函数f(x)存在最小值，则f(x)在(－∞，m)上是减函数或常数，∴－(1+m)≤0即m≥－1，又m<0，∴－1≤m<0。故f(x)存在最小值的充要条件是－1≤m<0，且f(x)min=f(m)=－m2.注：含参数的不等式要注意分类讨论3．已知函数（1）若，求函数的值域；（2）若，，试确定与的大小，并加以证明；（3）若，，，试确定与的大小，解：（1）当时，，而在连续，则在上是增函数，，即函数的值域为（2）令，则，∴，由且，得，即当时，，时，，而在上是连续的，则为的最小值，，从而当时，，因此，当且仅当时等号成立；（3）当为偶数时，；当为奇数时，，证明过程与（2）相同，从略。4．已知函数f(x)=x2+lnx.（I）求函数f(x)在[1，e]上的最大、最小值；（II）求证：在区间[1，+∞上，函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方；（III）求证：[(x)]n－(xn)≥2n－2（n∈N*）.解：（I）易知f(x)在[1，e]上是增函数.∴f(x)max=f(e)=e2+1；f(x)min=f(1)=.（II）设F(x)=x2+lnx－x3，则(x)=x+－2x2=.∵x＞1，∴(x)＜0，故F(x)在(1，+∞)上是减函数，又F(1)=－＜0，∴在(1，+∞)上，有F(x)＜0，即x2+lnx＜x3，故函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.（III）当n=1时，不等式显然成立；当n≥2时，有：[(x)]n－(xn)=(x+)n－(xn+)=xn－1·+xn－2·+…+x·=xn－2+xn－4+…+x·=[(xn－2+)+(xn－4+)+…+(+xn－2)]≥(2+2+…+2)=2n－2.注：第二问可数学归纳法证5.已知函数（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）当时，求证:（Ⅰ）解：,令得当时，当时，又当且仅当时，取得最大值0（Ⅱ）证明：由（1）知又6．已知函数在定义域上可导，设点是函数的图象上距离原点最近的点.(1)若点的坐标为,求证：;(2)若函数的图象不通过坐标原点,证明直线与函数的图象上点处切线垂直.证：(1)设Q(x,f(x))为y=f(x)上的动点，则|OQ|2=x2+f2(x)，设F(x)=x2+f2(x),则F'(x)=2x+2f(x)f'(x)已知P为y=f(x)图形上距离原点O最近的一点，∴|OP|2为F(x)的最小值，即F(x)在x=a处有最小值,亦即F(x)在x=a处有极小值∴F'(a)=0，即2a+2f(a)f'(a)=0(2)线段OP的斜率为，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f'(a)由(1)知f(a)f'(a)=–a，∴图象不过原点，∴a0，∴f'(a)=–1∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.7.如图所示，曲线段OMB是函数轴于A，曲线段OMB上一点处的切线PQ交轴于P，交线段AB于Q，（1）试用表示切线PQ的方程；（2）设△QAP的面积为是单调递减，试求出的最小值；（3）横坐标的取值范围。解:（1）（2）令由得上单调递减，故（3）当单调递增，得，则ΔQAP的面积S点的横坐标则P点横坐标的取值范围为.8.用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么