2008高考数学复习 函数与导数专题训练.doc

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2008高考数学复习函数与导数专题训练
1．设关于x的方程有两个实根，且，定义函数
（1）求的值；
（2）判断在区间上的单调性，并加以证明.
（3）若为正实数，证明不等式：

2．设函数，且，求证：
（1）；
（2）函数在区间内至少有一个零点；
（3）设是函数的两个零点，则

3．已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.

4．已知函数(x>0)在x=1处取得极值，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。

5．设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．

6．已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,(、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x-6.
(1)求k、b的值;
(2)当x满足f(x)>g(x)时,求函数的最小值.

7．设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；
(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.

8．已知a≥0，函数f(x)=（-2ax）
当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
（2）设f(x)在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围.

9．设函数（e为自然对数的底数）
（1）判断的单调性；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围.

10．若函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对所有的都有成立，求实数a的取值范围.

函数与导数综合题（教师版）
1．设关于x的方程有两个实根，且，定义函数
（1）求的值；
（2）判断在区间上的单调性，并加以证明.
（3）若为正实数，证明不等式：
解：是方程的两个实数根，

同理：
（2）

当
在区间上为增函数.
(3)

由（2）可得：
同理可得：

又由（1）可知：，

2．设函数，且，求证：
（1）；
（2）函数在区间内至少有一个零点；
（3）设是函数的两个零点，则
证明：（1）

又由得：

（2）
当c>0时,
函数在区间内至少有一个零点
当时,
函数在区间内至少有一个零点
综上可得:函数在区间内至少有一个零点
（3）是函数的两个零点
是方程的两个根，

3．已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.
解：若,,显然在上没有零点,所以.
令,解得
①当时,恰有一个零点在上;
②当，即时，在
上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时,则
或
解得或
综上所求实数的取值范围是或.
4．已知函数(x>0)在x=1处取得极值，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。
解：（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．
即，从而，
解得或．
所以的取值范围为
5．设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
解(I)函数的定义域为.
，
令，则在上递增，在上递减，
.当时，，
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当时，，时，
时，时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解，.
当时，，，

此时在上有唯一的极小值点.
当时，
在都大于0，在上小于0，
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。
（III）当时，
令则在上恒正，
在上单调递增，当时，恒有.
即当时，有，
对任意正整数，取得
6．已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,(、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x-6.
(1)求k、b的值;
(2)当x满足f(x)>g(x)时,求函数的最小值.
[解](1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2.∴k=1,b=2.
(2)由f(x)>g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0,得-2<x<4,
==x+2+