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专题讲座——函数与导数

已知函数
若函数图象上任意不同两点连线的斜率都小于1，则；
若[0，1]，函数图象上任一点切线的斜率为，求时的取值范围。
解答（1）设A（，B（是函数图象上任意不同两点，则，显然，不妨设，则，即，构造函数，则在R上是减函数，则在R上恒成立，故，解之得
（2）当[0，1]时，，即对任意的[0，1]，，即在[0，1]成立，由于，则必需满足或或，解得
此题融三次函数、导数、二次函数等问题于一体，在方法上主要是利用函数的单调性、区间最值等问题。

2．（本小题满分12分）设函数f(x)＝|x－m|－mx，其中m为常数且m<0。
（1）解关于x的不等式f(x)<0；
（2）试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值.
解：（1）由f(x)<0得，|x－m|<mx，得－mx<x－m<mx，即…
①当m=－1时，x<－eq\f(1,2)………
②当－1<m<0时，eq\f(m,1+m)<x<eq\f(m,1－m)……
③当m<－1时，x<eq\f(m,1－m)…
综上所述，当m<－1时，不等式解集为{x|x<eq\f(m,1－m)}
当m=－1时，不等式解集为{x|x<－eq\f(1,2)}
当－1<m<0时，不等式解集为{x|eq\f(m,1+m)<x<eq\f(m,1－m)}…
（2）f(x)=
∵m<0，∴1－m>0，f(x)在[m，+∞)上单调递增，要使函数f(x)存在最小值，
则f(x)在(－∞，m)上是减函数或常数，∴－(1+m)≤0即m≥－1，又m<0，∴－1≤m<0。
故f(x)存在最小值的充要条件是－1≤m<0，且f(x)min=f(m)=－m2.
注：含参数的不等式要注意分类讨论

3．已知函数
（1）若，求函数的值域；
（2）若，，试确定与的大小，并加以证明；
（3）若，，，试确定与的大小，
解：（1）当时，，而在连续，则在上是增函数，，即函数的值域为
（2）令，则，
∴，由且，得，即当时，，时，，而在上是连续的，则为的最小值，，从而当时，，因此，当且仅当时等号成立；
（3）当为偶数时，；当为奇数时，，证明过程与（2）相同，从略。

4．已知函数f(x)=x2+lnx.
（I）求函数f(x)在[1，e]上的最大、最小值；
（II）求证：在区间[1，+∞上，函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方；
（III）求证：[(x)]n－(xn)≥2n－2（n∈N*）.
解：（I）易知f(x)在[1，e]上是增函数.
∴f(x)max=f(e)=e2+1；f(x)min=f(1)=.
（II）设F(x)=x2+lnx－x3，则(x)=x+－2x2=.
∵x＞1，∴(x)＜0，故F(x)在(1，+∞)上是减函数，
又F(1)=－＜0，∴在(1，+∞)上，有F(x)＜0，
即x2+lnx＜x3，故函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.
（III）当n=1时，不等式显然成立；
当n≥2时，有：[(x)]n－(xn)=(x+)n－(xn+)
=xn－1·+xn－2·+…+x·=xn－2+xn－4+…+x·
=[(xn－2+)+(xn－4+)+…+(+xn－2)]
≥(2+2+…+2)=2n－2.
注：第二问可数学归纳法证

5.已知函数
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）当时，求证:
（Ⅰ）解：
,令得
当时，当时，又
当且仅当时，取得最大值0
（Ⅱ）证明：
由（1）知
又

6．已知函数在定义域上可导，设点是函数的图象上距离原点最近的点.
(1)若点的坐标为,求证：;
(2)若函数的图象不通过坐标原点,证明直线与函数的图象上点处切线垂直.
证：(1)设Q(x,f(x))为y=f(x)上的动点，则|OQ|2=x2+f2(x)，
设F(x)=x2+f2(x),
则F'(x)=2x+2f(x)f'(x)
已知P为y=f(x)图形上距离原点O最近的一点，
∴|OP|2为F(x)的最小值，即F(x)在x=a处有最小值,亦即F(x)在x=a处有极小值
∴F'(a)=0，即2a+2f(a)f'(a)=0
(2)线段OP的斜率为，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f'(a)
由(1)知f(a)f'(a)=–a，
∴图象不过原点，∴a0，∴f'(a)=–1
∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.

7.如图所示，曲线段OMB是函数轴于A，曲线段OMB上一点处的切线PQ交轴于P，交线段AB于Q，（1）试用表示切线PQ的方程；（2）设△QAP的面积为是单调递减，试求出的最小值；
（3）横坐标的取值范围。

解:（1）
（2）令

由得上单调递减，故
（3）当单调递增，
得，
则ΔQAP的面积S点的横坐标则P点横