最值问题的几何求解.doc

第页共NUMPAGES3页最值问题的几何求解本节的最值问题一般利用两个几何性质求解：1．三角形两边之和大于第三边（即两点之间线段最短），两边之差小于第三边；2．点线之间垂线段最短．例1已知三点，问m为何值时，最小，并求最小值．分析：根据三个点横坐标的特点可知，它们在坐标系中是从左到右依次排列的，当且仅当它们共线时，最小．解：依题意知，当三点共线时最小，此时，，∵，，∴，解得（舍去）或，∴，此时三个点分别为，∴．例2已知点，在y轴和直线上分别找一点P和N，使得的周长最小．分析：作点关于y轴和直线的对称点，则，，所以的周长等于，当且仅当三点共线时取最小值，所以点应为直线和y轴与直线的交点．解：作点关于y轴和直线的对称点，则点的坐标分别为，由两点式得，整理得，即为直线的方程，易得它和y轴和直线的交点坐标分别为．即使得周长最小的点P和N的坐标分别为．评注：本题利用对称思想为线段找到了“替身”，从而将问题转化成了两点之间线段最短的问题．例3已知点在直线上，且的最小值为，求m的值．解：∵，∴它是点和点之间的距离，它的最小值就是点到直线的距离，由点到直线的距离公式可得，平方得，整理得，∴．评注：本题通过挖掘代数式的几何意义，将点点距转化成了点线距，这种以距离为背景的题型时有出现，请同学们注意训练和总结．例4求点到直线的距离的最大值．分析：对直线方程整理后，我们会发现它表示过定点的一条直线，因为点线之间垂线段最短，所以，当且仅当时取等号，即此时取得最大值．解：可化为，它表示过直线和交点的直线．解方程组得两直线交点为，即直线恒过定点，当时取最大值，∵，∴的最大值为．