巧用旋转求解一类几何最值问题.docx

巧用“旋转”求解一类几何最值问题
【模型1】如图，正方形ABCD的边长为√2，在对角线BD上有一点P，求当PA+PC+PB的值最小时，则这个最小值为多少？

【解析】

如图，将△ABP以点B为中心逆时针旋转60º，得到△EBQ，连接PQ，则△BPQ和△ABE均为等边三角形。设y=PA+PC+PB，则y=EQ+QP+PC，故当点E、Q、P、C在同一条直线上时y最小，即y的最小值为CE的长度。
过点E作EM⊥BC，交CB延长线于点M，易知，∠EBM=30º，
∴EM=√2/2，BM=√3·√2/2=√6/2；
∴CE²=（√2/2）²+（√6/2+√2）²
=4+2√3=（√3+1）²，∴CE=√3+1，
即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为√3+1。
通过求解过程我们发现，点P在不在BD上与结果并无关系，可以认为点P为△ABC内部的一点，当∠ABC=90º，BA=BC=√2时，PA+PB+PC的最小值仍然是√3+1。

于是我们设想当∠ABC为其他特殊角，BA和BC不相等时，PA+PB+PC的最小值可以求得吗？
【模型2】在△ABC中，∠BAC=30º，AB=6，AC=8，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。

【解析】如图，将△ABP以点A为中心逆时针旋转60º，得到△AB′P′，连接PP′。

则△APP′为等边三角形。则PA+PC+PB=B′P′+PP′+PC，故当PA+PC+PB最小时，点B′、P′、P、C在同一条直线上，即PA+PC+PB的最小值为B′C的长度。
易知，∠B′AC=30º+60º=90º，AB′=AB=6，
∴B′C=10，即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为10。

【模型3】在△ABC中，∠BAC=60º，AB=2√3，AC=4-√3，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。

【解析】如图，将△ABP以点A为中心逆时针旋转60º，得到△AB′P′，连接PP′。

则△APP′为等边三角形。则PA+PC+PB=B′P′+PP′+PC，故当PA+PC+PB最小时，点B′、P′、P、C在同一条直线上，即PA+PB+PC的最小值为B′C的长度。
过点B′作B′D⊥AC，交CA延长线于点D，易知，∠B′AD=60º，
∴B′D=2√3·√3/2=3，AD=√3；CD=4-√3+√3=4，
∴B′C=5，即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为5。

【模型4】在△ABC中，∠BAC=90º，AB=2√3，AC=3√3-3，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。

【提示】如下图，与【模型1】情况类似，最小值为√30。

【模型5】在△ABC中，∠ABC=75º，AB=2√2，BC=2，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。

【提示】如下图，通过旋转可知PA+PC+PB的最小值为CD的长度。过点D作DM⊥BC，交CB延长线于点M，易知，∠DBM=45º。最小值为2√5。