高考数学总复习 3.2 等差数列夯实基础 大纲人教版 试题.doc

3.2等差数列巩固·夯实基础一、自主梳理1.若数列{an}从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数则数列{an}叫做等差数列.2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d它是关于n的一次函数且一次项的系数为d.3.等差数列{an}的前n项和Sn=na1+d它是关于n的二次函数但缺少常数项.4.若a、b、c成等差数列则b叫a与b的等差中项且b=.二、点击双基1.(2010山东潍坊检测)等差数列{an}中a1+a2+…+a50=200a51+a52+…+a100=2700则公差d等于()A.-1B.1C.5D.50【解析】由a1+a2+…+a50=50得50a50-(1+2+3+…+49)d=200.①由a51+a52+…+a100=50得50a50+(1+2+…+50)d=2700.②②-①得2500d=2500.∴d=1.故选择B.【答案】B2.(经典回放)已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列则|m-n|等于()A.1B.C.D.【解析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4则x1+x2=2x3+x4=2由等差数列的性质当m+n=p+q时am+an=ap+aq.设x1为第一项x2必为第4项可得数列为∴m=n=.∴|m-n|=.【答案】C3.(2010全国高考卷Ⅱ)如果数列{an}是等差数列则()A.a1+a8<a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8>a4+a5D.a1·a8=a4·a5【答案】B4.(上海春季高考)在数列{an}中a1=3且对任意大于1的正整数n点()在直线x-y-=0上则an=_____________.【解析】将点代入直线方程得-=由定义知{}是以为首项以为公差的等差数列故=n即an=3n2.【答案】3n2诱思·实例点拨【例1】已知{an}为等差数列前10项的和S10=100前100项的和S100=10求前110项的和S110.剖析:方程的思想将题目条件运用前n项和公式表示成关于首项a1和公差d的两个方程.解:设{an}的首项为a1公差为d则解得∴S110=110a1+×110×109d=-110.讲评:解决等差(比）数列的问题时通常考虑两类方法:(1)基本量法即运用条件转化成关于a1和d(q)的方程；(2)巧妙运用等差(比）数列的性质(如下标和的性质、子数列的性质、和的性质).一般地运用数列的性质可化繁为简.链接·拓展试用等差数列关于和的性质求解此题.【例2】设{an}是等差数列证明以bn=(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数)∴bn-bn-1=-===(an-an-1)=d(常数)其中n≥2.∴{bn}是等差数列.证法二:等差数列{an}的前n项和Sn=na1+d∴bn=［na1+d］=a1+=·n+(a1-).∴{bn}是等差数列.讲评:判断或证明数列是等差数列的方法有:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;(3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.【例3】已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2求数列{|an|}的前n项和Tn.剖析:由Sn=12n-n2知Sn是关于n的无常数项的二次函数(n∈N*)可知{an}为等差数列求出an然后再判断哪些项为正哪些项为负最后求出Tn.解:当n=1时a1=S1=12-12=11;当n≥2时an=Sn-Sn-1=12n-n2-［12(n-1)-(n-1)2］=13-2n.∵n=1时适合上式∴{an}的通项公式为an=13-2n.由an=13-2n≥0得n≤即当1≤n≤6(n∈N*)时an＞0;当n≥7时an＜0.(1)当1≤n≤6(n∈N*)时Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n-n2.(2)当n≥7(n∈N*)时