初三数学圆（二）知识精讲 上海科技版.doc

用心爱心专心初三数学圆（二）知识精讲上海科技版【本讲教育信息】一.教学内容：圆（二）圆周角和圆心角的关系、确定圆的条件二.教学要求1、理解圆周角的概念及其相关性质，并能熟练地运用它们进行论证和计算。2、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。三.重点及难点重点：圆周角定理及其推论，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法。难点：圆周角定理的证明，不在同一直线上的三个点作圆的方法。四.课堂教学［知识要点］知识点1、圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。说明：圆周角的两个特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦，二者缺一不可。知识点2、圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。说明：（1）定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半。（2）不能忽略“同一条弧”这个基本前提，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”。知识点3、圆周角定理的推论推论1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。如图所示，所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB，因此∠ACB＝∠ADB＝∠AEB。说明：（1）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立如图1所示，∠ACB，∠ADB，∠AEB所对的弦是同一条弦AB，∠ADB＝∠AEB，但∠ACB与∠ADB，∠AEB与∠ACB却不相等。（2）此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。如图（2）中所示，如果∠ACB＝∠DFE，那么推论2、直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。如图3所示，若AB为直径，则∠ACB＝90°，若∠ACB＝90°，则AB为直径。知识点4、过三点的圆由圆的定义可知，圆有两个要素，一个是圆心，另一个是半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。知识点5、三角形的外接圆、三角形的外心的概念三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。注意：（1）“接”说明三角形的顶点与圆的关系，圆经过三角形的各顶点，“三角形的外接圆”是以三角形为准，说明圆在它的外面。（2）锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心为斜边中点。钝角三角形的外心在三角形外部，无论哪种三角形，它们的外心都是两边的垂直平分线的交点，另外只要三角形确定，那么它的外心与外接圆的半径就确定了。【典型例题】例1.如图所示，在⊙O中，并判断。解：因为所以因为所以（圆周角定理）例2.如图所示，AB，CD是半径为5的圆内互相垂直的两条直径，E为AO的中点，连接CE并延长，交⊙O于另一点F，求弦CF的长。分析：由CD为直径，连接FD，可得∠CFD＝90°，易知△OCE与△FCD相似，CF的长可由相似三角形的对应边成比例求得。解：连接FD，因为CD为直径，所以∠CFD＝90°又CD⊥AB，所以∠COE＝∠CFD＝90°又因为∠ECO＝∠DCF，所以△OCE～△FCD所以例3.如图所示，⊙O的内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E，求证OE＝。分析：设法构造2OE，连接CO并延长，交⊙O于F，连接AF，BF.因为CF为直径，所以∠FBC＝∠FAC＝90°，所以BF⊥BC，因为OE⊥BC，所以OE∥BF，所以CE＝BE，在△CBF中，因为CE＝BE，OE∥BF，所以OE＝BF，因为∠FAC＝90°，所以FA⊥AC，因为AC⊥BD，所以FA∥BD，所以∠FAB＝∠ABD所以BF＝AD，所以OE＝例4.在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求其外接圆半径。分析：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，由等腰三角形性质可知△ABC的外接圆圆心O必在AD上，欲求外接圆半径，只要求出DC即可，OC可在Rt△ODC中由勾股定理求得。解：如图所示，作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，BD＝BC＝6，AD＝由因为AD⊥BD于D，AB＝AC所以，根据等腰三角形“三线合一”的性质。可知△ABC的外心O在AD上，连接OC，设OA＝OC＝R，则OD＝AD－AO＝8－R，CD＝BC＝6，在Rt△ODC中，所以即三角形外接圆的半径是例5.如图所示，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A，B，C（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心O。（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝10，腰AB＝6，求圆片的半径R（3）若（2）中的R的值满足m<R<n（m，n均为正数），试估算m和n的值。分析：第（1）问利用过不在同一直线上的三点作圆的方法，即可找到圆心O，第（2）问由