初三数学圆（一）知识精讲 上海科技版.doc

用心爱心专心初三数学圆（一）知识精讲上海科技版【本讲教育信息】一.教学内容：圆（一）二.教学要求1.经历形成圆的概念的过程经历探索点与圆位置关系的过程。2.理解圆的对称性及相关性质进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。三.重点及难点重点：1.理解圆的概念及点与圆的位置关系。2.理解垂径定理及其逆定理。圆心角、弧、弦之间相等关系的定理。难点：1.理解圆的集合定义。2.正确理解和区分垂径定理及其逆定理的题设和结论。四.课堂教学［知识要点］知识点1、圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中定点称为圆心定长称为半径的长（通常也称为半径）如图所示OA为半径点O为圆心的圆记作“⊙O”读作“圆O”。说明：确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小。圆心确定其位置半径确定其大小。只有圆心没有半径虽然圆的位置确定但大小不定因而圆不确定只有半径没有圆心虽然圆的大小固定但圆心的位置不定因而圆的位置也不确定只有圆心和半径都确定圆才被唯一确定。知识点2、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内。点在圆外即这个点到圆心的距离大于半径点在圆上即这个点到圆心的距离等于半径点在圆内即这个点到圆心的距离小于半径说明：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系反过来也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系即如果圆的半径是r点到圆心的距离为d那么①点在圆外d>r；②点在圆上d＝r；③点在圆内d＜r探究交流：设AB＝3cm作图说明满足下列要求的图形。（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形。（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。分析：（1）到点A的距离都等于2cm的所有点组成的图形是⊙A到点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形是⊙B同时满足这两个条件的点为既在⊙A上又在⊙B上的点这些点是点P点Q．（1）（2）（2）满足条件的点为既在⊙Ａ内又在⊙Ｂ内的点即如图所示的阴影部分但要注意不包括阴影的边界。知识点3、圆的轴对称性圆是轴对称性图形其对称轴是任意一条过圆心的直线。说明：（１）圆的对称轴有无数条。（2）不能说每条直径都是圆的对称轴因为图形的对称轴是一条直线应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴。知识点4、与圆有关的概念（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧简称“弧”弧用符号“⌒”表示如图所示以AB为端点的弧记作“”读作“圆弧AB”或“弧AB”。（2）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半圆大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）小于半圆的弧叫做劣弧（3）连接圆上任意两点的线段叫做弦。（4）经过圆心的弦叫做直径直径等于半径的2倍。说明：（1）直径是弦但弦不一定是直径。（2）半圆是弧但弧不一定是半圆半圆既不是优弧也不是劣弧。知识点5、垂径定理及其逆定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的弧。说明：（1）这里的垂径可以是直径、半径、过圆心的直线或线段。（2）条件中的“弦”可以是直径结论中的“平分弧”即意味着平分弦所对的劣弧也意味着平分弦所对的优弧。如图所示垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：2.垂径定理的一个逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的弧。如图所示：逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：说明：一定不能忽略“弦不是直径”这个条件因为圆中任意两条直径总是互相平分的但它们不一定垂直。3.垂径定理及其一个逆定理可得的其余结论。对于一个圆和一条直线来说如果具备下列五个条件中的任意两个那么就可推出其他三个：（1）垂直于弦（2）平分弦（3）平分弦所对的优弧（4）平分弦所对的劣弧（5）过圆心。知识点6、圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形实际上一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合这种性质是圆的旋转不变性。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。知识点7、圆心角、弦心距的概念（1）顶点在圆心的角叫做圆心角。（2）从圆心到弦的距离叫做弦心距。知识点8、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。（1）圆的一个特征：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦也相等。（2）圆心角、弧、弦之间相等关系的定理：在同圆或等圆中如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各量都分别相等。如图所示若下列三个条件（１）∠AOC＝∠BOD（2）AC＝BD（3）中有一个等式成立则其他两个等式也成立。说明：（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件若丢掉这个前提虽然圆心角相等但所对的弧、弦不一定相等。（2）结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义否则易错用此关系。（3）定理中的“弧”一般指劣弧。【典型例题】例1.（2004·济南）如图所示方格纸上一圆经过（2