（潍坊专版）中考数学复习 第1部分 第三章 函数 第七节 二次函数的综合应用课件-人教级全册数学课件.ppt

第七节二次函数的综合应用考点一线段、周长问题例1(2017·东营中考)如图直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于BC两点点A在x轴上∠ACB＝90°抛物线y＝ax2＋bx＋经过AB两点．(1)求AB两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点过点M作MH⊥BC于点H作MD∥y轴交BC于点D求△DMH周长的最大值．【分析】(1)由直线解析式可求得BC坐标再利用相似三角形可求得OA从而可求出A点坐标；(2)利用待定系数法可求得抛物线解析式；(3)根据题意可推出当MD取得最大值时△DMH的周长最大利用二次函数的性质得出最大值．【自主解答】(1)∵直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于BC两点∴点B的坐标为(30)点C的坐标为(0)．∵∠ACO＋∠BCO＝90°∠ACO＋∠CAO＝90°∴∠CAO＝∠BCO.∵∠AOC＝∠COB＝90°∴△AOC∽△COB∴∴AO＝1∴点A的坐标为(－10)．(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋经过AB两点∴∴抛物线的解析式为y＝(3)由题意知△DMH为直角三角形且∠M＝30°当MD取得最大值时△DMH的周长最大．∴当x＝时MD有最大值∴△DMH周长的最大值为1．如图所示二次函数的图象经过点D(0)且顶点C的横坐标为4该图象在x轴上截得线段AB长为6.(1)利用二次函数的对称性直接写出点AB的坐标．(2)求二次函数的解析式．(3)在该抛物线的对称轴上找一点P使PA＋PD最小求出点P的坐标．(4)在抛物线上是否存在点Q使△QAB与△ABC相似？如果存在求出点Q的坐标；如果不存在请说明理由．解：(1)A(10)B(70)．(2)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)(x－7)．∵过点(0)∴代入得7a＝.解得a＝∴二次函数的解析式为y＝(x－1)(x－7)．(3)∵点AB关于直线x＝4对称∴PA＝PBPA＋PD＝PB＋PD≥DB∴DB与对称轴的交点即为所求点P.如图设直线x＝4与x轴交于点M.∵PM∥OD∴∠BPM＝∠BDO.又∵∠PBM＝∠DBO∴△BPM∽△BDO∴∴PM＝∴点P的坐标为(4)．(4)存在．由(2)可得出点C的坐标为(4－)．∵AM＝3∴在Rt△AMC中tan∠ACM＝∴∠ACM＝60°.∵AC＝BC∴∠ACB＝120°.①如图所示当点Q在x轴上方时过点Q作QN⊥x轴于点N.如果AB＝BQ由△ACB∽△ABQ得BQ＝6∠ABQ＝∠ACB＝120°则∠QBN＝60°∴QN＝3BN＝3ON＝10此时点Q的坐标为(103)．如果AB＝AQ由对称性知Q的坐标为(－23)经检验点(103)与(－23)都在抛物线上．②当点Q在x轴下方时△QAB就是△ACB此时点Q的坐标是(4－)．综上所述存在这样的点Q使△QAB与△ABC相似点Q的坐标为(103)或(－23)或(4－)．考点二图形面积问题例2(2017·潍坊中考)如图抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A(03)B(－10)D(23)抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式；(2)当t为何值时△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在求出t的值；若不存在说明理由．【分析】(1)由ABD三点的坐标利用待定系数法可求得抛物线的表达式；(2)由题意知l必过平行四边形ABCD的对称中心由抛物线的对称性可求得E点坐标从而可求得直线l的表达式作PH⊥x轴交直线l于点M作FN⊥PH则可用t表示出PM的长从而可表示出△PEF的面积再利用二次函数的性质可求得其最大值再求其最大值的立方根即可；(3)由题意可知有∠PAE＝90°或∠APE＝90°两种情况分别求得t的值即可．【自主解答】(1)将点A(03)B(－10)D(23)代入y＝ax2＋bx＋c得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.(2)∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分∴l必过其对称中心()．由点AD知对称轴为x＝1∴E(30)设直线l的表达式为y＝kx＋m代入点()和(30)得∴直线l的表达式为y＝－x＋.由解得xF＝－.如图作PH⊥x轴交l于点M作FN⊥PH.点P的纵坐标为yP＝－t2＋2t＋3点M的纵坐标为yM＝－t＋.∴PM＝yP－yM＝－t2＋2t＋3＋t－＝－t2＋t＋