高考数学总复习 模块三 数列 第11讲 数列求和及数列的简单应用学案 理-人教版高三全册数学学案.docx

第11讲数列求和及数列的简单应用1.[2018·全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和已知a1=-7S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn并求Sn的最小值.[试做]2.[2016·全国卷Ⅱ]Sn为等差数列{an}的前n项和且a1=1S7=28.记bn=[lgan]其中[x]表示不超过x的最大整数如[0.9]=0[lg99]=1.(1)求b1b11b101;(2)求数列{bn}的前1000项和.[试做]3.[2014·全国卷Ⅰ]已知数列{an}的前n项和为Sna1=1an≠0anan+1=λSn-1其中λ为常数.(1)证明:an+2-an=λ.(2)是否存在λ使得{an}为等差数列?并说明理由.[试做]命题角度解决数列大题的有关策略1.解决已知某几个基本量求等差、等比数列的通项公式和前n项和问题:关键一:通过列方程(组)求关键量a1和d(或q);关键二:利用通项公式和前n项和公式求解.2.解决数列的递推问题:关键一:利用an=Snn=1Sn-Sn-1n≥2得出关于an与an+1(或an-1)的递推式;关键二:观察递推式的形式采用不同方法求an.3.解决数列求和问题:关键一:利用等差数列、等比数列的前n项和公式求解;关键二:利用数列求和方法(倒序相加法、分组求和法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法)求解.4.(1)等差数列的判断方法:定义法、等差中项法、利用通项公式判断、利用前n项和判断.(2)等比数列的判断方法:①定义法:若an+1an=q(q是常数)则数列{an}是等比数列;②等比中项法:若an+12=anan+2(n∈N*)则数列{an}是等比数列;③通项公式法:若an=Aqn-1(Aq为常数)则数列{an}是等比数列.5.解决关于数列的不等式证明问题常用放缩法解决最值问题常用基本不等式法.解答1等差、等比数列基本量的计算1已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为SnS1+1S3S4成等差数列且a1a2a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若S4S6Sn成等比数列求n及此等比数列的公比.[听课笔记]【考场点拨】解决由等差数列、等比数列组成的综合问题要立足于两数列的概念设出相应基本量充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于审清题目弄懂来龙去脉揭示问题的内在联系和隐含条件形成解题策略.【自我检测】已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn=a1(2n-1)a4=16n∈N*.(1)求a1及数列{an}的通项公式;(2)设bn=n2an求数列{bn}的最大项.解答2数列的证明问题2已知正项数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)其中Sn=λan+μ.(1)若a1=2a2=6求数列{an}的通项公式;(2)若a1+a3=2a2求证:{an}是等差数列.[听课笔记]【考场点拨】判断数列是否为等差或等比数列的策略:(1)将所给的关系式进行变形、转化以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断;(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可.【自我检测】已知Sn为数列{an}的前n项和且满足Sn-2an=n-4.(1)证明:{Sn-n+2}为等比数列;(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.解答3数列的求和问题3已知等差数列{an}的前n项和为Sn公差d≠0S7=35且a2a5a11成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Tn为数列1anan+1的前n项和且存在n∈N*使得Tn-λan+1≥0成立求实数λ的取值范围.[听课笔记]【考场点拨】裂项相消法就是把数列的每一项分解成一正一负的两项使得相加后项与项之间能够相互抵消但在抵消的过程中有的是依次项消有的是间隔项消.常见的裂项方式有:1n(n+1)=1n-1n+1;1n(n+k)=1k1n-1n+k;1n2-1=121n-1-1n+1;14n2-1=1212n-1-12n+1.4已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn=n2-n在正项等比数列{bn}中b2=a2b4=a5.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设cn=an·bn求数列{cn}的前n项和Tn.[听课笔记]【考场点拨】如果数列{an}是等差数列{bn}是等比数列那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时可采用错位相减法.用错位相减法求和时应注意:①等比数列的公比为负数的情形;②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便准确写出“Sn-qSn”的表达式.【自我检测】1.已知等比数列{an}的各项均为正数a4=81且a2a3的等差中项为18.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=log3