高考数学大一轮复习 6.4数列的通项与求和学案 理 苏教版-苏教版高三全册数学学案.doc

学案30数列的通项与求和导学目标：1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系并能用有关知识解决相应的问题．自主梳理1．求数列的通项(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.))(2)当已知数列{an}中满足an＋1－an＝f(n)且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求则可用________求数列的通项an常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．(3)当已知数列{an}中满足eq\f(an＋1an)＝f(n)且f(1)·f(2)·…·f(n)可求则可用________求数列的通项an常利用恒等式an＝a1·eq\f(a2a1)·eq\f(a3a2)·…·eq\f(anan－1).(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．2．求数列的前n项的和(1)公式法①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________推导方法：____________；②等比数列前n项和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝1＝q≠1.))推导方法：乘公比错位相减法．③常见数列的前n项和：a．1＋2＋3＋…＋n＝________；b．2＋4＋6＋…＋2n＝________；c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝________；d．12＋22＋32＋…＋n2＝________；e．13＋23＋33＋…＋n3＝____________.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式相加过程消去中间项只剩有限项再求和．常见的拆项公式有：①eq\f(1nn＋1)＝eq\f(1n)－eq\f(1n＋1)；②eq\f(12n－12n＋1)＝eq\f(12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12n－1)－\f(12n＋1)))；③eq\f(1\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加：例如等差数列前n项和公式的推导．自我检测1．(原创题)已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝3n2(n∈N*)则数列{an}的前n项的和为________．2．设{an}是公比为q的等比数列Sn是其前n项和若{Sn}是等差数列则q＝________.3．已知等比数列{an}的公比为4且a1＋a2＝20故bn＝log2an则b2＋b4＋b6＋…＋b2n＝________.4．(2010·天津高三十校联考)已知数列{an}的通项公式an＝log2eq\f(n＋1n＋2)(n∈N*)设{an}的前n项的和为Sn则使Sn<－5成立的自然数n的最小值为________．5．(2010·北京海淀期末练习)设关于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an数列{an}的前n项和为Sn则S100的值为________．6．数列14eq\f(12)7eq\f(14)10eq\f(18)…前10项的和为________．探究点一求通项公式例1已知数列{an}满足an＋1＝eq\f(2n＋1·anan＋2n＋1)a1＝2求数列{an}的通项公式．变式迁移1设数列{an}的前n项和为Sn已知a1＝1Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．探究点二裂项相消法求和例2已知数列{an}Sn是其前n项和且an＝7Sn－1＋2(n≥2)a1＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1log2an·log2an＋1)Tn是数列{bn}的前n项和求使得Tn<eq\f(m20)对所有n∈N*都成立的最小正整数m.变式迁移2求数列1eq\f(11＋2)eq\f(11＋2＋3)…eq\f(11＋2＋3＋…＋n)…的前n项和．探究点三错位相减法求和例3已知数列{an}是首项、公比都为q(q>0且q≠1)的等比数列bn＝anlog4an(n∈N*)．(1)当q＝5时求数列{bn}的前n项和Sn；(2)当q＝eq\f