高考数学总复习 专题6.4 数列求和导学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

第四节数列求和
最新考纲
eq\a\vs4\al(1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.,2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.)
数列求和的常见方法
1.公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
（1）等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(n(a1＋an),2)＝na1＋eq\f(n(n－1),2)d.
（2）等比数列的前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1(1－qn),1－q)，q≠1.))
（3）一些常见数列的前n项和公式
①1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n(n＋1),2).
②1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.
③2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)．
④12＋22＋…＋n2＝eq\f(n(n＋1)(2n＋1),6).
【例1】已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
【答案】27
【解析】由a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为eq\f(1,2)的等差数列，
故S9＝9a1＋eq\f(9×9－1,2)×eq\f(1,2)＝9＋18＝27.
【变式训练1】若等比数列{an}满足a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前n项和Sn＝________.
【答案】Sn＝eq\f(10,9)(2n－1)．
【解析】由题意a2＋a5＝q(a1＋a4)，得20＝q×10，故q＝2，代入a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得9a1＝10，即a1＝eq\f(10,9).故Sn＝eq\f(\f(10,9)1－2n,1－2)＝eq\f(10,9)(2n－1)．
2.倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
3.并项求和法：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.
【例2】已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2)＝eq\f(2,a3)，S6＝63.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nbeq\o\al(2,n)}的前2n项和.
【答案】(1)an＝2n－1；(2)T2n＝2n2.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q.
由已知，有eq\f(1,a1)－eq\f(1,a1q)＝eq\f(2,a1q2)，解得q＝2或q＝－1.
又由S6＝a1·eq\f(1－q6,1－q)＝63，知q≠－1，
所以a1·eq\f(1－26,1－2)＝63，得a1＝1.所以an＝2n－1.
(2)由题意，得bn＝eq\f(1,2)(log2an＋log2an＋1)＝eq\f(1,2)(log22n－1＋log22n)＝n－eq\f(1,2)，
即{bn}是首项为eq\f(1,2)，公差为1的等差数列.
设数列{(－1)nbeq\o\al(2,n)}的前n项和为Tn，则
T2n＝(－beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2))＋(－beq\o\al(2,3)＋beq\o\al(2,4))＋…＋(－beq\o\al(2,2n－1)＋beq\o\al(2,2n))
＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝eq\f(2n（b1＋b2n）,2)＝2n2.
【变式训练2】数列{an}的通项公式an＝ncoseq\f(nπ,2)，其前n项和为Sn，则S2016等于()
A.1008 B.2016 C.504 D.0
【答案】A

4.分组转化法求和：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
【例3】(2016·北京高考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
【答案】（1）an＝2n－1(n＝1,2