高考数学二轮复习 考前专题五 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法讲学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

第3讲立体几何中的向量方法以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点常与空间线面关系的证明相结合热点为二面角的求解均以解答题的形式进行考查难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.热点一利用向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a＝(a1b1c1)平面αβ的法向量分别为μ＝(a2b2c2)v＝(a3b3c3)则有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2b1＝kb2c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3b2＝λb3c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.例1如图在直三棱柱ADE—BCF中面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直点M为AB的中点点O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.证明方法一(1)由题意得ABADAE两两垂直以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1则A(000)B(100)C(110)D(010)F(101)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)00))Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)\f(12)\f(12))).eq\o(OM\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(12)－\f(12)))eq\o(BA\s\up6(→))＝(－100)∴eq\o(OM\s\up6(→))·eq\o(BA\s\up6(→))＝0∴eq\o(OM\s\up6(→))⊥eq\o(BA\s\up6(→)).∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱∴AB⊥平面BCF∴eq\o(BA\s\up6(→))是平面BCF的一个法向量且OM⊄平面BCF∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1y1z1)n2＝(x2y2z2)．∵eq\o(DF\s\up6(→))＝(1－11)eq\o(DM\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)－10))eq\o(DC\s\up6(→))＝(100)eq\o(CF\s\up6(→))＝(0－11)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DF\s\up6(→))＝0n1·\o(DM\s\up6(→))＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－y1＋z1＝0\f(12)x1－y1＝0))令x1＝1则n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(12)－\f(12))).同理可得n2＝(011)．∵n1·n2＝0∴平面MDF⊥平面EFCD.方法二(1)eq\o(OM\s\up6(→))＝eq\o(OF\s\up6(→))＋eq\o(FB\s\up6(→))＋eq\o(BM\s\up6(→))＝eq\f(12)eq\o(DF\s\up6(→))－eq\o(BF\s\up6(→))＋eq\f(12)eq\o(BA\s\up6(→))＝eq\f(12)(eq\o(DB\s\up6(→))＋eq\o(BF\s\up6(→)))－eq\o(BF\s\up6(→))＋eq\f(12)eq\o(BA\s\up6(→))＝－eq\f(12)eq\o(BD\s\up6(→))－eq\f(12)eq\o(BF\s\up6(→))＋eq\f(12)eq\o(BA\s\up6(→))＝－eq\f(12)(eq\o(BC\s\up6(→))＋eq\o(BA\s\up6(→)))－eq\f(12)eq\o(BF\s\up6(→))＋eq\f(12)eq\o(BA\s\up6(→))＝－eq\f(12)eq\o(BC\s\up6(→))－eq\f(12)eq\o(BF\s\up6(→)).∴向量eq\o(OM\s\up6(→))与向量eq\o(BF\s\up6(→))eq\o(BC\s\up6(→))共面又OM⊄平面BCF∴OM∥平面BCF.(2)由题意知BFBCBA两两垂直∵eq