高考数学二轮复习 专题三 第2讲 立体几何中的向量方法（理）学案-人教版高三全册数学学案.docx

第2讲立体几何中的向量方法考向预测以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点常与空间线面关系的证明相结合热点为二面角的求解均以解答题的形式进行考查．知识与技巧的梳理1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1b1c1)平面αβ的法向量分别为μ＝(a2b2c2)v＝(a3b3c3)则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2b1＝kb2c1＝kc2．(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3b2＝λb3c2＝λc3．(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0．2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线lm的方向向量分别为a＝(a1b1c1)b＝(a2b2c2)平面αβ的法向量分别为μ＝(a3b3c3)v＝(a4b4c4)(以下相同)．(1)线线夹角设lm的夹角为θ则cosθ＝eq\f(|a·b||a||b|)＝．(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ则(3)面面夹角设平面αβ的夹角为θ则热点一利用空间向量证明平行、垂直关系【例1】如图在四棱锥P－ABCD中PA⊥底面ABCDAD⊥ABAB∥DCAD＝DC＝AP＝2AB＝1点E为棱PC的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD．证明依题意以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)可得B(100)C(220)D(020)P(002)．由E为棱PC的中点得E(111)．(1)向量eq\o(BE\s\up6(→))＝(011)eq\o(DC\s\up6(→))＝(200)故eq\o(BE\s\up6(→))·eq\o(DC\s\up6(→))＝0．所以BE⊥DC．(2)因为AB⊥AD又PA⊥平面ABCDAB⊂平面ABCD所以AB⊥PAPA∩AD＝APAAD⊂平面PAD所以AB⊥平面PAD所以向量eq\o(AB\s\up6(→))＝(100)为平面PAD的一个法向量而eq\o(BE\s\up6(→))·eq\o(AB\s\up6(→))＝(011)·(100)＝0所以BE⊥AB又BE⊄平面PAD所以BE∥平面PAD．(3)由(2)知平面PAD的法向量eq\o(AB\s\up6(→))＝(100)向量eq\o(PD\s\up6(→))＝(02－2)eq\o(DC\s\up6(→))＝(200)设平面PCD的一个法向量为n＝(xyz)则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PD\s\up6(→))＝0n·\o(DC\s\up6(→))＝0))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y－2z＝02x＝0))不妨令y＝1可得n＝(011)为平面PCD的一个法向量．且n·eq\o(AB\s\up6(→))＝(011)·(100)＝0所以n⊥eq\o(AB\s\up6(→))．所以平面PAD⊥平面PCD．探究提高1．利用向量法证明平行、垂直关系关键是建立恰当的坐标系．2．向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量但向量证明仍然离不开立体几何定理的条件如在(2)中忽略BE⊄平面PAD而致误．【训练1】在直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ABC＝90°BC＝2CC1＝4点E在线段BB1上且EB1＝1DFG分别为CC1C1B1C1A1的中点．求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD．证明(1)以B为坐标原点BABCBB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．则B(000)D(022)B1(004)C1(024)．设BA＝a则A(a00)所以eq\o(BA\s\up6(→))＝(a00)eq\o(BD\s\up6(→))＝(022)eq\o(B1D\s\up6(→))＝(02－2)．eq\o(B1D\s\up6(→))·eq\o(BA\s\up6(→))＝0eq\o(B1D\s\up6(→))·eq\o(BD\s\up6(→))＝0＋4－4＝0则B1D⊥BAB1D⊥BD．又BA∩BD＝BBABD⊂平面ABD因此B1D⊥平面ABD．(2)由(1)知E(003)Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2)14))F(014)则eq\o(EG\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2)11))eq\o(EF\s\up6(→))＝(011)eq