高中数学 第6章 导数及其应用 6.3 利用导数解决实际问题教案 新人教B版选择性必修第三册-新人教B版高二选择性必修第三册数学教案.doc

6.3利用导数解决实际问题学习目标核心素养1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点)2．能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)．(难点、易混点)1.通过导数的实际应用的学习培养数学建模素养．2．通过解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题提升逻辑推理、数学运算素养.“宇宙之大粒子之微火箭之速化工之巧地球之变生物之谜日用之繁无处不用数学．”著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系．导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？用导数解决最优化问题的基本思路1．思考辨析(正确的画“√”错误的画“×”)(1)在经济活动中怎样使经营成本最小的问题属于最优化问题．()(2)解决应用问题的关键是建立数学模型．()(3)生活中常见的收益最高用料最省的问题就是数学中的最大、最小值问题．()[答案](1)√(2)√(3)√2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油需对原油进行冷却和加热如果第x小时时原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(13)x3－x2＋8(0≤x≤5)那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B.eq\f(203)C．－1D．－8C[原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)所以当x＝1时原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.]3．做一个容积为256m3的方底无盖水箱所用材料最省时它的高为()A．6mB．8mC．4mD．2mC[设底面边长为xm高为hm则有x2h＝256所以h＝eq\f(256x2).所用材料的面积设为Sm2则有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256x2)＋x2＝eq\f(256×4x)＋x2.S′＝2x－eq\f(256×4x2)令S′＝0得x＝8因此h＝eq\f(25664)＝4(m)．]4．某一件商品的成本为30元在某段时间内若以每件x元出售可卖出(200－x)件当每件商品的定价为______元时利润最大．115[利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000S′(x)＝－2x＋230由S′(x)＝0得x＝115这时利润达到最大．]面积、体积的最值问题【例1】请你设计一个包装盒如图ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形再沿虚线折起使得ABCD四个点重合于图中的点P正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点EF在AB上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[思路点拨]弄清题意根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系用x将等量关系中的相关量表示出来建立函数关系式然后求最值．[解]设包装盒的高为hcm底面边长为acm.由已知得a＝eq\r(2)xh＝eq\f(60－2x\r(2))＝eq\r(2)(30－x)0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800所以当x＝15时S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)V′＝6eq\r(2)x(20－x)．令V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(020)时V′＞0；当x∈(2030)时V′＜0.所以当x＝20时V取得极大值也是最大值．此时eq\f(ha)＝eq\f(12)即包装盒的高与底面边长的比值为eq\f(12).1．解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量将面积或体积表示为变量的函数结合实际问题的定义域利用导数求解函数的最值．2．解决优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时注意实际问题中变量的取值范围即函数的定义域；(2)一般地通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可不必再与端点处的函数值进行比较．eq\O([跟进训练])1．将一张2×6m的矩形钢板按如图所示划线要求①至⑦全为矩形且左右对称、上下对称沿线裁去阴影部分把剩余部分焊接成一个有盖的长方体水箱(其中①与③、②与④分别是全等的矩形且⑤＋⑥＝⑦)设水箱的高为xm容积为ym3.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)x取何值时水箱的容积最大．[解](1)由水箱的高为xm得水箱底面的宽为(2－2x)m长为eq\f(6－2