高中数学 第6章 导数及其应用 6.1 导数 6.1.4 求导法则及其应用教案 新人教B版选择性必修第三册-新人教B版高二选择性必修第三册数学教案.doc

6.1.4求导法则及其应用学习目标核心素养1.熟记基本初等函数的导数公式并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)2．掌握导数的运算法则并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)3．掌握复合函数的求导法则会求复合函数的导数．(易混点)1.通过学习导数的四则运算法则培养数学运算素养．2．借助复合函数的求导法则的学习提升逻辑推理、数学抽象素养.如何求下列函数的导数：(1)y＝xeq\r(x)；(2)y＝2x2＋sinx.问题：由此你能类比联想一下[f(x)＋g(x)]′的求导法则吗？1．导数的运算法则(1)和差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)积的导数①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；②[Cf(x)]′＝Cf′(x)．(3)商的导数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fxgx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′xg2x)g(x)≠0.拓展：①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．②[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(ab为常数)．2．复合函数的概念及求导法则(1)复合函数的概念一般地已知函数y＝f(u)与u＝g(x)给定x的任意一个值就能确定u的值．如果此时还能确定y的值则y可以看成x的函数此时称f(g(x))有意义且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数其中u称为中间变量．(2)一般地如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))则可以证明复合函数的导数h′(x)与f′(u)g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)．这一结论也可以表示为y′x＝y′uu′x.思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示]函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成．1．思考辨析(正确的画“√”错误的画“×”)(1)函数f(x)＝eq\f(11＋x2)是复合函数．()(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos(－x)．()(3)y＝e2x的导数y′＝2e2x.()(4)[f(x)g(x)h(x)]′＝f′(x)g′(x)h′(x)．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝()A．ex(x＋1)B．1＋exC．x(1＋ex)D．ex(x－1)A[f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)选A.]3．若函数f(x)＝ax2＋c且f′(1)＝2则a＝________.1[∵f(x)＝ax2＋c∴f′(x)＝2ax故f′(1)＝2a＝2∴a＝1.]4．若y＝eq\f(lnx2)则y′＝________.eq\f(12x)[∵y＝eq\f(12)lnx∴y′＝eq\f(12)·eq\f(1x)＝eq\f(12x).]导数四则运算法则的应用【例1】求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝eq\f(lnxx2＋1)；(4)y＝x2－sineq\f(x2)coseq\f(x2).[解](1)y′＝2x－2x－3.(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝eq\f(x2＋1－2x2·lnxxx2＋12).(4)∵y＝x2－sineq\f(x2)coseq\f(x2)＝x2－eq\f(12)sinx∴y′＝2x－eq\f(12)cosx.1．解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则．2．对一个函数求导时要紧扣导数运算法则联系基本初等函数的导数公式当不易直接应用导数公式时应先对函数进行化简(恒等变形)然后求导．这样可以减少运算量优化解题过程．eq\O([跟进训练])1．已知函数f(x)＝(2x＋1)exf′(x)为f(x)的导函数则f′(0)＝________.3[因为f(x)＝(2x＋1)ex所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex∴f′(0)＝3.]2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(其中e为自然对数的底数)则f′(e)＝________.－eq\f(1e)[因为f(x)＝2xf′(e)＋lnx所以f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1x).∴f′(e