高中数学 第6章 导数及其应用 6.1 导数 6.1.4 求导法则及其应用教案 新人教B版选择性必修第三册-新人教B版高二选择性必修第三册数学教案.doc

6.1.4求导法则及其应用
学习目标核心素养1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)
2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)
3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)1.通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养．
2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养.

如何求下列函数的导数：
(1)y＝xeq\r(x)；
(2)y＝2x2＋sinx.
问题：由此你能类比联想一下[f(x)＋g(x)]′的求导法则吗？

1．导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
②[Cf(x)]′＝Cf′(x)．
(3)商的导数
eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)，g(x)≠0.
拓展：①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．
②[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)．
2．复合函数的概念及求导法则
(1)复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量．
(2)一般地，如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则可以证明，复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)．
这一结论也可以表示为y′x＝y′uu′x.
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示]函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝eq\f(1,1＋x2)是复合函数． ()
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos(－x)． ()
(3)y＝e2x的导数y′＝2e2x. ()
(4)[f(x)g(x)h(x)]′＝f′(x)g′(x)h′(x)． ()
[答案](1)√(2)×(3)√(4)×
2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝()
A．ex(x＋1) B．1＋ex
C．x(1＋ex) D．ex(x－1)
A[f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，选A.]
3．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a＝________.
1[∵f(x)＝ax2＋c，
∴f′(x)＝2ax，故f′(1)＝2a＝2，∴a＝1.]
4．若y＝eq\f(lnx,2)，则y′＝________.
eq\f(1,2x)[∵y＝eq\f(1,2)lnx，
∴y′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,x)＝eq\f(1,2x).]

导数四则运算法则的应用【例1】求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝eq\f(lnx,x2＋1)；
(4)y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).
[解](1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
(3)y′＝eq\f(x2＋1－2x2·lnx,xx2＋12).
(4)∵y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x2－eq\f(1,2)sinx，
∴y′＝2x－eq\f(1,2)cosx.

1．解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
eq\O([跟进训练])
1．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)＝________.
3[因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，∴f′(0)＝3.]
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________