高中数学 第6章 导数及其应用 6.1 导数 6.1.1 函数的平均变化率教案 新人教B版选择性必修第三册-新人教B版高二选择性必修第三册数学教案.doc

6.1导数6.1.1函数的平均变化率学习目标核心素养1.理解函数平均变化率的概念．(重点)2．会求函数的平均变化率．(难点、易混点)3．会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．(难点)1.通过函数平均变化率的学习培养数学抽象素养．2．借助函数平均变化率的计算提升数学运算素养.某人走路的第1秒和第45秒的位移如图所示：问题1：从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？问题2：AB段与BC段哪一段的速度较快？1．函数的平均变化率一般地若函数y＝f(x)的定义域为D且x1x2∈Dx1≠x2y1＝f(x1)y2＝f(x2)则(1)自变量的改变量Δx＝x2－x1；(2)因变量的改变量Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))；思考：在平均变化率中ΔxΔyeq\f(ΔyΔx)是否可以为0？当平均变化率为0时是否说明函数在该区间上一定为常函数？[提示]在平均变化率中Δx可正可负但Δx不可以为0；Δy可以为0；eq\f(ΔyΔx)可以为0.当eq\f(ΔyΔx)＝0时并不能说明函数在该区间上一定为常函数如f(x)＝x2在区间[－22]上的平均变化率是0但它不是常函数．拓展：函数平均变化率的几何意义如图所示函数f(x)在区间[x1x2]上的平均变化率就是直线AB的斜率其中A(x1f(x1))B(x2f(x2))事实上kAB＝eq\f(fx2－fx1x2－x1)＝eq\f(ΔyΔx).2．平均速度与平均变化率如果物体运动的位移xm与时间ts的关系为x＝h(t)则物体在[t1t2](t1<t2时)或[t2t1](t2<t1时)这段时间内的平均速度为eq\f(ht2－ht1t2－t1)(m/s)．即物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率．1．思考辨析(正确的画“√”错误的画“×”)(1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量Δx的值可正可负但不可为零．()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)Δy的值可正可负也可以为零．()(3)eq\f(ΔyΔx)表示曲线y＝f(x)上两点(x1f(x1))(x2f(x2))连线的斜率．()(4)物体在某段时间内的平均速度为0则物体始终处于静止状态．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2.如图函数y＝f(x)在[13]上的平均变化率为()A．1B．－1C．2D．－2B[eq\f(ΔyΔx)＝eq\f(f3－f13－1)＝－1.]3．已知函数y＝f(x)＝x2＋1则在x＝2Δx＝0.1时Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44B[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.]4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示．在时间段[t0t1][t1t2][t2t3]上的平均速度分别为eq\x\to(v)1eq\x\to(v)2eq\x\to(v)3其三者的大小关系是________．eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1[∵eq\x\to(v)1＝eq\f(st1－st0t1－t0)＝kMAeq\x\to(v)2＝eq\f(st2－st1t2－t1)＝kABeq\x\to(v)3＝eq\f(st3－st2t3－t2)＝kBC由图像可知：kMA<kAB<kBC∴eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1.]求函数的平均变化率【例1】求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0x0＋Δx]上的平均变化率并求当x0＝1Δx＝eq\f(12)时平均变化率的值．[解]∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2xeq\o\al(20)＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2∴函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0x0＋Δx]上的平均变化率为eq\f(ΔyΔx)＝eq\f(4x0·Δx＋2Δx2Δx)＝4x0＋2Δx当x0＝1Δx＝eq\f(12)时平均变化率为4×1＋2×eq\f(12)＝5.求平均变化率可根据定义代入公式直接求解解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy求平均变化率的主要步骤是：eq\O([跟进训练])1．如果函数y＝ax＋b在区间[12]上的平均变化率为3则a＝()A．－3B．2C．3D．－2C[根据平均变化率的定义可知eq\f(ΔyΔ