高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算（教学用书）教案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学教案.doc

3.1.3空间向量的数量积运算学习目标核心素养1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)1．通过学习空间向量的数量积运算培养学生数学运算的核心素养．2．借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养．1．空间向量的夹角(1)夹角的定义已知两个非零向量ab在空间任取一点O作eq\o(OA\s\up7(→))＝aeq\o(OB\s\up7(→))＝b则∠AOB叫做向量ab的夹角记作〈ab〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0π]．特别地当θ＝0时两向量同向共线；当θ＝π时两向量反向共线所以若a∥b则〈ab〉＝0或π；当〈ab〉＝eq\f(π2)时两向量垂直记作a⊥b．2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量ab则|a||b|cos〈ab〉叫做ab的数量积记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈ab〉．(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)空间两向量的数量积的性质：垂直若ab是非零向量则a⊥b⇔a·b＝0共线同向：则a·b＝|a|·|b|反向：则a·b＝－|a|·|b|向量数量积的性质模a·a＝|a||a|cos〈aa〉＝|a|2|a|＝eq\r(a·a)|a·b|≤|a|·|b|夹角θ为ab的夹角则cosθ＝eq\f(a·b|a||b|)思考：(1)若a·b＝0则一定有a⊥b吗？(2)若a·b>0则〈ab〉一定是锐角吗？[提示](1)若a·b＝0则不一定有a⊥b也可能a＝0或b＝0．(2)当〈ab〉＝0时也有a·b>0故当a·b>0时〈a·b〉不一定是锐角．1．下列各命题中不正确的命题的个数为()①eq\r(a·a)＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(mλ∈R)；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a．A．0B．3C．2D．1D[命题①②③正确④不正确．]2．已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a设eq\o(AB\s\up7(→))＝aeq\o(AD\s\up7(→))＝beq\o(AA′\s\up7(→))＝c则〈eq\o(A′B\s\up7(→))eq\o(B′D′\s\up7(→))〉等于()A．30°B．60°C．90°D．120°D[△B′D′C是等边三角形〈eq\o(A′B\s\up7(→))eq\o(B′D′\s\up7(→))〉＝〈eq\o(D′C\s\up7(→))eq\o(B′D′\s\up7(→))〉＝120°．]3．已知|a|＝3|b|＝2a·b＝－3则〈ab〉＝________．eq\f(23)π[cos〈ab〉＝eq\f(a·b|a||b|)＝eq\f(－33×2)＝－eq\f(12)．所以〈ab〉＝eq\f(23)π．]4．在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中AB＝4AD＝3AA′＝5∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°则|AC′|＝________．eq\r(97)[eq\o(AC′\s\up7(→))＝eq\o(AB\s\up7(→))＋eq\o(AA′\s\up7(→))＋eq\o(AD\s\up7(→))eq\o(AC′\s\up7(→))2＝eq\o(AB\s\up7(→))2＋eq\o(AA′\s\up7(→))2＋eq\o(AD\s\up7(→))2＋2eq\o(AB\s\up7(→))·eq\o(AA′\s\up7(→))＋2eq\o(AB\s\up7(→))·eq\o(AD\s\up7(→))＋2eq\o(AA′\s\up7(→))·eq\o(AD\s\up7(→))＝42＋52＋32＋2×4×5×cos60°＋2×4×3×cos60°＋2×5×3×cos60°＝16＋25＋9＋20＋12＋15＝97∴|AC′|＝eq\r(97)．]空间向量的数量积运算【例1】(1)已知a＝3p－2qb＝p＋qp和q是相互垂直的单位向量则a·b＝()A．1B．2C．3D．4(2)如图所示在棱长为1的正四面体ABCD中EF分别是ABAD的中点求值：①eq\o(EF\s\