高中数学 2.4平面向量的数量积教案6 新人教A版必修4.doc

4用心爱心专心§2.4平面向量的数量积2．4．1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目标：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量数量积的定义用平面向量的数量积表示向量的模、夹角。教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解平面向量数量积的应用。授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识。主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的3个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学流程：概念引入→概念获得→简单运用→算律探究→理解掌握→反思提高教学过程：一、复习引入问题1：回忆一下物理中“功”的计算功的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？力做的功：W=||||cos是与的夹角.（引导学生认识功这个物理量所涉及的物理量从“向量相乘”的角度进行分析）二、新课讲解1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ它们的夹角是θ则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积记作ab即有ab=|a||b|cos（０≤θ≤π）.并规定：0与任何向量的数量积为0.问题2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小又涉及向量的交角运算结果是数量）注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数不是向量符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b而ab是两个向量的数量的积书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号既不能省略也不能用“×”代替.（3）在实数中若a0且ab=0则b=0；但是在数量积中若a0且ab=0不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)则ab=bca=c.但是ab=bca=c如右图：ab=|a||b|cos=|b||OA|bc=|b||c|cos=|b||OA|ab=bc但ac(5)在实数中有(ab)c=a(bc)但是(ab)ca(bc)显然这是因为左端是与c共线的向量而右端是与a共线的向量而一般a与c不共线.（“投影”的概念）：作图2．定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.BAC3．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.例题1：探究1：非零向量的数量积是一个数量那么它何时为正何时为0何时为负？当0°≤θ＜90°时a·b为正；当θ=90°时a·b为零。90°＜θ≤180°时a·b为负探究2：两个向量的夹角决定了它们数量积的符号那么它们共线或垂直时数量积有什么特殊性呢？4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量.（1）abab=0（2）当a与b同向时ab=|a||b|；当a与b反向时ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或（3）|ab|≤|a||b|公式变形：cos=探究3：对一种运算自然会涉及运算律回忆过去研究过的运算律向量的数量积应有怎样的运算律？（引导学生类比得出运算律老师作补充说明）向量abc和实数λ有（1）ab=ba（2）（λa）b=λ（ab）=a（λb）（3）（a+b）c=a·c+bc（进一步）你能证明向量数量积的运算律吗？（引导学生证明（1）、（2））例2已知|a|=6|b|=4a·b=12求（1）ａ与ｂ的夹角；（2）|a+b|；（3）(a+2b)·(a-3b).例3已知|a|=3|b|=4且a与b不共线k为何值时向量a+kb与a-kb互相垂直.例4（适时补充）判断正误：①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａｂс都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量则ａ２＝ｂ２.上述8个命题中只有③⑧正确；评述：这一