高中数学 2.4平面向量的数量积教案5 新人教A版必修4.doc

8用心爱心专心第40课平面向量的数量积●考试目标主词填空1.定义及运算律.两个向量的内积(即数量积)其结果是一个实数而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.设a及b是具有共同始点的两个非零向量其夹角θ满足:0°≤θ≤180°我们把|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积记作a·b若a=(x1y1)b=(x2y2)则a·b=.其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”即:a·b=b·a(λ·a)·b=λ(a·b)(a±b)·c=a·c±b·c.2.平面向量数量积的重要性质.①|a|==;cosθ=;|a·b|≤|a|·|b|当且仅当ab共线时取等号.②设a=(x1y1)b=(x2y2)则:|a|=;cosθ=;|x1x2+y1y2|≤3.两向量垂直的充要条件若ab均为非零向量则:a⊥ba·b=0.若a=(x1y1)b=(x2y2)则a⊥bx1x2+y1y2=0.4.向量的模及三角不等式|a|2=a·a或|a|=;|a·b|≤|a|·|b|;|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b);|a±b|=(θ为ab夹角);||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.5.三角不等式的推广形式|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.●题型示例点津归纳【例1】计算下列各题:(1)已知等边三角形ABC边长为1且=a=b=c求a·b+b·c+c·a;(2)已知a、b、c是空间中两两垂直的向量且|a|=1|b|=2|c|=3求r=a+b+c的长度以及它和abc的夹角;(3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直且(a-4b)与(7a-2b)垂直求a、b的夹角;(4)已知|a|=2|b|=5ab的夹角是πp=3a-bq=λa+17b问系数λ取向值时p⊥q.【解前点津】(1)利用x2=x·x通过对(a+b+c)2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件运算律以及内积定义.构造关于λ的方程解之即得.【规范解答】(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=3-2(a·b+b·c+c·a)=0a·b+b·c+c·a=.(2)cosra=∵|r|=且r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=14-2(a·b+b·c+c·a)=14.∴|r|=cosra=;cosrb=;cosrc=.(3)由条件:(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0|a|2=|b|2=2a·b(|a|·|b|)2=4(a·b)2.由cosab=得:ab=;由cosab=-得:ab=.(4)令p·q=0得:(3a-b)·(λa+17b)=03λ|a|2-17|b|2+(51-λ)a·b=0①将|a|=2|b|=5a·b=|a|·|b|·cos代入①得3λ·4-17×25+(51-λ)·(-5)=0解之:λ=40.【解后归纳】综合利用内积的定义及运算律内积运算形式与实数运算形式的相互转化是计算的一项基本功.【例2】在△ABC中=(23)=(1k)且△ABC的一个内角为直角求k的值.【解前点津】因谁是直角尚未确定故必须分类讨论.【规范解答】①当∠A=90°时因为·=0∴2×1+3·k=0∴k=-.②当∠B=90°时=-=(1-2k-3)=(-1k-3)∵·=0∴2×(-1)+3×(k-3)=0k=.③当∠C=90°时∵·=0∴-1+k·(k-3)=0k2-3k-1=0k=.∴k的取值为:-或.【解后归纳】在三角形中计算两向量的内积应注意方向及两向量的夹角.【例3】用向量法证明以下各题.(1)三角形中的余弦定理:a2=b2+c2-2bc·cosA;(2)平行四边形成为菱形的充要条件是其对角线互相垂直;(3)内接于半圆且以直径为一边的三角形为直角三角形.【解前点津】(1)(如图1)在△ABC中构造内积·(2)在平行四边形ABCD中证明内积·=0.例3题图解(1)【规范解答】(1)在△ABC中.由·=||·||·cosA=bccosA2·=2bccosA①又∵·=(+)·=(-)·=2-·②∵·=·(+)=2+·③②+③得:2·=2-·+2+·例3题图解(2)=2+2-2=b2+c2-a2代入①得:b2+c2-a2=2bc·cosA故:a2=b2+c2-2bc·cosA.(2)必要性因平行四边形ABCD为菱形(如图2)那么:||=||=||=||于是:例3题图解(3