新必修二 8.6.1-8.6.2直线与直线垂直、直线与平面垂直(教案+练习).pdf

8.6.1直线与直线垂直、8.6.2直线与平面垂直【要点梳理】要点一、直线与直线的垂直（异面直线所成的角）直线a、b是异面直线，经过空间中一点O，分别引直线a'//a，b'//b，相交直线a＇、b＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（夹角）。如右图所示．当两条异面直线所成的角是直角时，这两条异面直线互相垂直.要点诠释：（1）当两条直线a、b相互平行时，我们规定它们所成的角为00。所以空间两条直线所成角的取值范围为0900（2）异面直线所成角的取值范围是0o90o；（3）求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.要点二、直线和平面垂直的定义和判定1.直线和平面垂直的定义如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫平面的垂线；平面叫直线l的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)若a,b，则ab.2.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．图形语言：m,n,mInB符号语言：llm,ln特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.相关的重要结论①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．1③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．要点三、直线与平面所成的角1．直线与平面所成角的定义一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.要点诠释：(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.(2)直线与平面垂直时射影是点.(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.2．直线与平面所成的角的范围：不垂直时，0°＜＜90°直线和平面相交垂直时，=90°直线和平面平行或直线在平面内，=0°．．直线和平面所成角的范围是0°≤≤90°．3．求斜线与平面所成角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点即斜足；(2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．要点四、直线和平面垂直的性质定理1.定理垂直于同一个平面的两条直线平行2.其他性质（1）垂直于同一条直线的两个平面平行．（2）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点五、距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。【经典例题】类型一：异面直线所成的角例1．如下图，正方体AC中，E，F分别是AB，BC的中点，求异面直线DB与EF所成角的大111111小．2【总结升华】求异面直线所成角的过程是将空间角转化为平面角求解的过程．通常是通过解三角形求得．举一反三：【变式1】如右图，在正方体ABCD-ABCD中，1111（1）AC和DD所成的角大小为________；1（2）AC和DC所成的角大小为________；11（3）AC和AB所成的角大小为________．1【变式2】直三棱柱ABCABC中，若BAC90，ABACAA，则异面直线BA与AC所111111成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°类型二：直线和平面垂直的定义例2．下列命题中正确的个数是()①如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；②如果直线l与平面内的一条直线垂直，则l；③如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直．A