【创新设计】2011届高三数学一轮复习 2.5 指数与指数函数课件.ppt

【考纲下载】(1)定义：一般地，若xn＝a(n>1，n∈N*)则x叫做a的.叫做根式，n叫做根指数，叫做被开方数．(2)运算性质①当n为任意正整数时，＝a；②当n为奇数时，＝a；(1)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．提示：分数指数幂不能随心所欲地约分，例如要将写成等必须认真考查a的取值才能决定，例如＝＝1，而＝无意义．3．有理指数幂的运算性质am·an＝am＋n(m，n∈Q)(am)n＝amn(m，n∈Q)(ab)n＝an·bn(n∈Q)【思考】如图是指数函数：(1)y=，(2)y=，(3)y=，(4)y=的图象，如何确定底数a，b，c，d与1之间的大小关系？答案：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即，∴c>d>1>a>b.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．1．函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则有()A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a>0且a≠1解析：由指数函数定义式得：，∴a＝2.答案：C2．若x>y>1,0<a<1，那么正确的结论是()A．ax>ayB．ax>1C．a－x<1D．a－x>a－y解析：(特值法)取x＝4，y＝2，a＝.则ax＝，＝4.∴a－x>a－y.答案：D3．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．0<a<1，b>0C．a>0，b>0D．0<a<1，b<04．若x>0，则＝________.解析：原式＝＋4=－23.答案：－23指数幂的运算应遵循以下原则：1．指数式化简求值分为两类：有条件和无条件，无条件的指数式可直接化简，有条件的应把条件和结论相结合再进行化简求值．2．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行运算．3．对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【例1】(1)化简下列各式：①(a>0，b>0)；②(2)已知＝4，求a＋a－1.思维点拨：(1)化成分数指数幂形式运算；(2)考虑整体思想．解：(1)①原式＝②原式＝＝(2)a＋a－1＝－2＝42－2＝14.变式1：化简求值(其中各字母均为正数)(1)；(2)若x＋x－1＝3，求x3＋x－3的值．解：(1)原式＝＝(2)x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＝(x＋x－1)[(x＋x－1)2－3]＝3×(32－3)＝18.涉及指数函数的图象问题，常利用指数函数y＝ax一定过定点(0,1)这一性质；【例2】(1)函数y＝(0<a<1)的图象的大致形状是()解析：(1)函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝.当x>0时，函数是一个指数函数，其底数0<a<1，所以函数递减；当x<0时，函数图象与指数函数y＝ax的图象关于x轴对称，函数递增，所以应选D项．答案：D(2)解析：设u＝6＋x－2x2，则u＝－2，∴函数u在上为增函数，在上为减函数，又0<<1，∴函数y＝的单调增区间为.答案：解：设u＝－x2＋3x＋2＝－当x≥时，u是减函数，x≤时，u是增函数．又当a>1时，y＝au是增函数；当0<a<1时，y＝au是减函数．所以，当a>1时，f(x)＝在上是减函数，在上是增函数，当0<a<1时，f(x)＝在上是减函数，在上是增函数.解决与指数函数单调性有关的问题首先要看底数的取值范围记住下列函数的增减性，对解题是十分有用的：(1)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；(2)若f(x)为增(减)函数，则为减(增)函数(f(x)≠0)；(3)若f(x)为增(减)函数，则f(x)＋k为增(减)函数．【例3】已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.(1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．解：(1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝.由f(0)＝f(－0)＝－f(0)，且f(1)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝－f(1)，得f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0.∴在区间[－1,1]上，有f(x)＝(2)证明：当x∈(0,1)时，f(x)＝任取x1、x2满足0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝∵0<x1<x2<1，即f(x1)>f(x2)，故f(x)在(0,1)上是减函数．变式3：已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性．(2)∵f(－x)＝＝－f(x)且定义域为R，∴f(x)是奇函数．(3)f(x)＝①当a>1时，∵ax