高三数学一轮复习 2.5 指数与指数函数课件.ppt

【考纲下载】(1)定义：一般地，若xn＝a(n>1，n∈N*)则x叫做a的.
叫做根式，n叫做根指数，叫做被开方数．
(2)运算性质
①当n为任意正整数时，＝a；
②当n为奇数时，＝a；(1)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
提示：分数指数幂不能随心所欲地约分，例如要将写成等必须认真考
查a的取值才能决定，例如＝＝1，
而＝无意义．3．有理指数幂的运算性质
am·an＝am＋n(m，n∈Q)
(am)n＝amn(m，n∈Q)
(ab)n＝an·bn(n∈Q)【思考】如图是指数函数：(1)y=，(2)y=，(3)y=，(4)y=
的图象，如何确定底数a，b，c，d与1之间的大小关系？

答案：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底
数的值，即，∴c>d>1>a>b.即无论在y轴的左侧还是
右侧，底数按逆时针方向变大．1．函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则有()
A．a＝1或a＝2B．a＝1
C．a＝2D．a>0且a≠1
解析：由指数函数定义式得：，∴a＝2.
答案：C2．若x>y>1,0<a<1，那么正确的结论是()
A．ax>ayB．ax>1C．a－x<1D．a－x>a－y
解析：(特值法)取x＝4，y＝2，a＝.
则ax＝，
＝4.
∴a－x>a－y.
答案：D3．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b
为常数，则下列结论正确的是()
A．a>1，b<0
B．0<a<1，b>0
C．a>0，b>0
D．0<a<1，b<04．若x>0，则＝________.
解析：原式＝＋4=－23.
答案：－23指数幂的运算应遵循以下原则：
1．指数式化简求值分为两类：有条件和无条件，无条件的指数式可直
接化简，有条件的应把条件和结论相结合再进行化简求值．
2．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指
数幂写出，然后再用性质进行运算．
3．对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含
有负指数．【例1】(1)化简下列各式：①(a>0，b>0)；
②
(2)已知＝4，求a＋a－1.
思维点拨：(1)化成分数指数幂形式运算；(2)考虑整体思想．
解：(1)①原式＝
②原式＝
＝
(2)a＋a－1＝－2＝42－2＝14.变式1：化简求值(其中各字母均为正数)
(1)；
(2)若x＋x－1＝3，求x3＋x－3的值．
解：(1)原式＝
＝
(2)x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)
＝(x＋x－1)[(x＋x－1)2－3]
＝3×(32－3)＝18.涉及指数函数的图象问题，常利用指数函数y＝ax一定过定点(0,1)
这一性质；【例2】(1)函数y＝(0<a<1)的图象的大致形状是()解析：(1)函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝.当x>0时，
函数是一个指数函数，其底数0<a<1，所以函数递减；当x<0时，函数图象与指
数函数y＝ax的图象关于x轴对称，函数递增，所以应选D项．
答案：D
(2)解析：设u＝6＋x－2x2，则u＝－2，
∴函数u在上为增函数，在上为减函数，又0<<1，
∴函数y＝的单调增区间为.
答案：解：设u＝－x2＋3x＋2＝－
当x≥时，u是减函数，x≤时，u是增函数．又当a>1时，y＝au是
增函数；
当0<a<1时，y＝au是减函数．
所以，当a>1时，f(x)＝在上是减函数，
在上是增函数，
当0<a<1时，f(x)＝在上是减函数，
在上是增函数.解决与指数函数单调性有关的问题首先要看底数的取值范围记住
下列函数的增减性，对解题是十分有用的：
(1)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；
(2)若f(x)为增(减)函数，则为减(增)函数(f(x)≠0)；
(3)若f(x)为增(减)函数，则f(x)＋k为增(减)函数．【例3】已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)
时，f(x)＝.
(1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．解：(1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝.
由f(0)＝f(－0)＝－f(0)，
且f(1)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝－f(1)，
得f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0.
∴在区间[－1,1]上，

有f(x)＝(2)证明：当x∈(0,1)时，f(x)＝
任取x1、x2满足0<x1<x2<1，
则f(x1)－f(x2)＝
∵0<x1<x2<1，

即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在(0,1)上是减函数．变式3：已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)．