高中数学 2.3.4平面与平面垂直的性质学案设计 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学学案.doc

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.4平面与平面垂直的性质学习目标1.探究平面与平面垂直的性质定理进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习培养学生转化的思想.合作学习一、设计问题创设情境如图长方体ABCD-A'B'C'D'中平面A'ADD'与平面ABCD垂直直线A'A垂直于其交线AD.平面A'ADD'内的直线A'A与平面ABCD垂直吗?二、信息交流揭示规律问题1:如图若α⊥βα∩β=CDAB⊂αAB⊥CDAB∩CD=B.讨论直线AB与平面β的位置关系.问题2:能不能用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理并给出证明?问题3:平面与平面垂直的性质定理的特点有哪些?四、运用规律解决问题【例1】如图已知平面αβα⊥βa⊥β直线a满足a⊄α试判断直线a与平面α的位置关系.【例2】如图四棱锥P—ABCD的底面是AB=2BC=的矩形侧面PAB是等边三角形且侧面PAB⊥底面ABCD.(1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC;(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角;(3)求直线AB与平面PCD的距离.【例3】如图把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置使CD=AC.(1)求证:平面ABD⊥平面ABC;(2)求二面角CBDA的余弦值.【例4】如图在矩形ABCD中AB=33BC=3沿对角线BD把△BCD折起使C移到C'且C'在平面ABC内的射影O恰好落在AB上.(1)求证:AC'⊥BC';(2)求AB与平面BC'D所成角的正弦值;(3)求二面角C'BDA的正切值.五、变式演练深化提高1.如图三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC=90°AB=BB1=1直线B1C与平面ABC成30°角求二面角BB1CA的正弦值.2.如图边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面BC=2M为BC的中点.(1)证明:AM⊥PM;(2)求二面角PAMD的大小.六、反思小结观点提炼请同学们回想一下本节课我们学了哪些内容?七、作业精选巩固提高课本P74习题2.3B组第13题.参考答案问题1:直线AB与平面β垂直.问题2:①两个平面垂直的性质定理文字语言描述为:如果两个平面垂直那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.②符号语言描述为:⇒AB⊥β.③图形语言描述为:如图两个平面垂直的性质定理证明过程如下:如图已知α⊥βα∩β=aAB⊂αAB⊥a于B.求证:AB⊥β.证明:在平面β内作BE⊥CD垂足为B则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.由α⊥β可知AB⊥BE.又AB⊥CDBE与CD是β内的两条相交直线∴AB⊥β.问题3:两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线因此它是立体几何中最重要的定理.应用面面垂直的性质定理的口诀是:“见到面面垂直立即在一个平面内作交线的垂线”.四、【例1】解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b∵α⊥β∴b⊥β.∵a⊥β∴a∥b.∵a⊄α∴a∥α.即直线a与平面α平行.【例2】解:(1)证明:在矩形ABCD中BC⊥AB又∵平面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB∴BC⊥侧面PAB.又∵BC⊂侧面PBC∴侧面PAB⊥侧面PBC.(2)如图取AB的中点E连接PECE又∵△PAB是等边三角形∴PE⊥AB.又∵侧面PAB⊥底面ABCD∴PE⊥平面ABCD.∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.PE=BA=CE=在Rt△PEC中∠PCE=45°为所求.(3)在矩形ABCD中AB∥CD∵CD⊂侧面PCDAB⊄侧面PCD∴AB∥侧面PCD.取CD的中点F连接EFPF则EF⊥AB.又∵PE⊥AB∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF.作EG⊥PF垂足为G则EG⊥平面PCD.在Rt△PEF中EG=为所求.【例3】解:(1)证明:(证法一):由题设知AD=CD=BD作DO⊥平面ABCO为垂足则OA=OB=OC.∴O是△ABC的外心即AB的中点.∴O∈AB即O∈平面ABD.∴OD⊂平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.(证法二):取AB中点O连接ODOC则有OD⊥ABOC⊥AB即∠COD是二面角CABD的平面角.设AC=a则OC=OD=a又CD=AD=AC∴CD=a.∴△COD是直角三角形即∠COD=90°.∴二面角是直二面角即平面ABD⊥平面ABC.(2)取BD的中点E连接CEOEOC∵△BCD为正三角形∴CE⊥BD.又△BOD为等腰直角三角形∴OE⊥BD.∴∠OEC为二面角CBDA的平面角.同(1)可证OC⊥平面ABD∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形.设BC=a则CE=aOE=a∴cos∠OEC=即为所求.【例4】解:(1)证明:由题意