高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.3 平面向量的数量积教学案 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学教学案.docx

17§5.3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查偶尔会在解答题中出现属于中档题.1.向量的夹角已知两个非零向量a和b作eq\o(OA\s\up6(→))＝aeq\o(OB\s\up6(→))＝b则∠AOB就是向量a与b的夹角向量夹角的范围是[0π].2.平面向量的数量积定义设两个非零向量ab的夹角为θ则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1y1)b＝(x2y2)a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(21)＋y\o\al(21))夹角cosθ＝eq\f(a·b|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2\r(x\o\al(21)＋y\o\al(21))\r(x\o\al(22)＋y\o\al(22)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(21)＋y\o\al(21)x\o\al(22)＋y\o\al(22))概念方法微思考1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cosθ而b在a方向上的投影为|b|cosθ其中θ为a与b的夹角.2.两个向量的数量积大于0则夹角一定为锐角吗？提示不一定.当夹角为0°时数量积也大于0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量而不是向量.(√)(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(3)(a·b)c＝a(b·c).(×)(4)若a·b<0则a和b的夹角为钝角.(×)题组二教材改编2.已知向量a＝(21)b＝(－1k)a·(2a－b)＝0则k＝________.答案12解析∵2a－b＝(42)－(－1k)＝(52－k)由a·(2a－b)＝0得(21)·(52－k)＝0∴10＋2－k＝0解得k＝12.3.已知|a|＝5|b|＝4a与b的夹角θ＝120°则向量b在向量a方向上的投影为________.答案－2解析由数量积的定义知b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.题组三易错自纠4.已知△ABC的三边长均为1且eq\o(AB\s\up6(→))＝ceq\o(BC\s\up6(→))＝aeq\o(CA\s\up6(→))＝b则a·b＋b·c＋a·c＝________.答案－eq\f(32)解析∵〈ab〉＝〈bc〉＝〈ac〉＝120°|a|＝|b|＝|c|＝1∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－eq\f(12)∴a·b＋b·c＋a·c＝－eq\f(32).5.已知矩形ABCD中|eq\o(AB\s\up6(→))|＝6|eq\o(AD\s\up6(→))|＝4若点MN满足eq\o(BM\s\up6(→))＝3eq\o(MC\s\up6(→))eq\o(DN\s\up6(→))＝2eq\o(NC\s\up6(→))则eq\o(AM\s\up6(→))·eq\o(NM\s\up6(→))等于()A.20B.15C.9D.6答案C解析因为ABCD为矩形建系如图.A(00)M(63)N(44).则eq\o(AM\s\up6(→))＝(63)eq\o(NM\s\up6(→))＝(2－1)eq\o(AM\s\up6(→))·eq\o(NM\s\up6(→))＝6×2－3×1＝9.6.已知向量ab的夹角为60°|a|＝2|b|＝1则|a＋2b|＝________.答案2eq\r(3)解析方法