圆和方程预习提纲.doc

圆与方程教案例1：已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。解：根据已知条件，圆心C（a，b）是P1P2的中点，那么它的坐标为：a＝eq\f(4＋6,2)＝5，b＝eq\f(9＋3,2)＝6再根据两点的距离公式，得圆的半径是：r＝︱CP1︱＝eq\r(（4－5）2+（9－6）2)＝eq\r(10)∴所求圆的方程是：（x－5）2+（y－6）2＝10∵︱CM︱＝eq\r(10)，︱CN︱＝eq\r(13)＞eq\r(10)，︱CQ︱＝3＜eq\r(10)∴点M在圆上，点Q在圆内，点N在圆外.例2：圆x2+y2＝4与圆（x－3）2+（y－4）2＝16的位置关系。解：∵圆心距＝5＜r1＋r2＝6∴两圆相交例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.解：因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式，得因此，所求的圆的方程是说明：例3中用到了直线和圆相切的性质，即圆心与切点连线垂直于切线且等于半径.例4：过点A（3，1）和B（－1，3），且它的圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程。解：设圆的方程为（x－a）2+（y－b）2＝r2则：（3－a）2+（1－b）2＝r2，（－1－a）2+（3－b）2＝r2，3a－b－2＝0解法二：线段AB的中点坐标是（1，2）则kAB＝eq\f(3－1,－1－3)＝－eq\f(1,2)所以，线段AB的垂直平分线方程为：y－2＝2（x－1）即：2x－y＝0由eq\b\lc\{(\a\al(2x－y＝0,3x－y－2＝0))得圆心坐标为C（2，4），又r＝︱AC︱＝eq\r(10)∴圆的方程是：（x－2）2+（y－4）2＝10例5：求半径为10，和直线4x＋3y－70＝0切于点（10，10）的圆的方程。解：设圆心坐标为C（x0，y0），则eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(y0－10,x0－10)·（－eq\f(4,3)）＝－1,（x0－10）2+（y0－10）2＝100))解得：x0＝2，y0＝4或x0＝18，y0＝16∴所求圆的方程是：（x－2）2+（y－4）2＝100或（x－18）2+（y－16）2＝100例6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的切线的方程.解：设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是k=－.经过点M的切线方程是：整理得：因为点M（x0，,y0）在圆上，所以所求切线方程为：当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.例7：求过点A（2，4）向圆x2+y2＝4所引的切线方程。解法一：设切线方程为y－4＝k(x－2)即kx－y＋4－2k＝0由eq\b\lc\{(\a\al(kx－y＋4－2k＝0,x2+y2＝4))得：（k2＋1）x2＋4k（2－k）x＋4k2－16k＋12＝0由△＝0得：k＝eq\f(3,4)又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切∴所求切线方程为：x＝2或3x－4y＋10＝0解法二：设切线方程为kx－y＋4－2k＝0则：eq\f(︱4－2k︱,\r(k2＋1))＝2得：k＝eq\f(3,4)又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切∴所求切线方程为：x＝2或3x－4y＋10＝0解法三：设切点为（x0，y0），则：x0x＋y0y＝4∴2x0＋4y0＝4又：x02+y02＝4∴x0＝2，y0＝0或x0＝－eq\f(6,5)，y0＝eq\f(8,5)得切线方程：x＝2或3x－4y＋10＝0例8：两直线分别绕A（2，0），B（－2，0）两点旋转，它们在y轴上的截距b，b′的乘积bb′＝4，求两直线交点的轨迹。解：设M（x，y）为两直线l1、l2的交点则有l1：eq\f(x,2)＋eq\f(y,b)=1，l2：eq\f(x,－2)＋eq\f(y,b′)=1得：b＝eq\f(2y,2－x)，b′＝eq\f(2y,2＋x)∴bb′＝eq\f(2y,2－x)·eq\f(2y,2＋x)＝4x2+y2＝4（y≠0）例9：已知一圆与y轴相切，圆心在直线l：x－3y=0上，且被直线y＝x截得的弦AB长为2eq\r(7)，求圆的方程。解：设圆心C（3a，a）∵圆与y轴相切∴r＝3︱a︱又：︱CD︱＝eq\f(︱3a—a︱,\r(2))＝eq\r(2)︱a︱︱BD︱＝eq\f(1,2)︱AB︱＝eq\r(7)由勾股定理得：a＝±1∴所求圆的方程为：