平面与平面垂直的判定.doc

(完整word)平面与平面垂直的判定(完整word)平面与平面垂直的判定PAGE\*MERGEFORMAT20(完整word)平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定［学习目标］1.理解二面角的有关概念,会求简单的二面角的大小.2.理解两平面垂直的定义.3.掌握两平面垂直的判定定理。知识点一二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面。从这一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。图示平面角文字在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角图示符号OA⊂α,OB⊂β，α∩β＝l，O∈l,OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围［0，π］规定二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角记法棱为l、面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q.思考二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？答无关.如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.知识点二平面与平面垂直1.定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。平面α与平面β垂直，记作α⊥β。2.画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示。3.平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α,l⊂β⇒α⊥β思考(1）应用面面垂直的判定定理的关键是什么？（2)两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？答（1)应用此定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化。（2）不一定.平行、相交，垂直都有可能。题型一二面角及其平面角的概念例1下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系。其中正确的是（)A。①③B.②④C。③④D。①②答案B解析由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a,b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确。故选B。跟踪训练1若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（)A.相等B。互补C.相等或互补D。关系无法确定答案D解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定.题型二面面垂直的判定例2如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点。（1)求证:BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH。证明（1)方法一如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中,AB＝2DE，∴AC＝2DF.∵G为AC的中点,∴DF∥GC,且DF＝GC，∴四边形CFDG是平行四边形，∴DM＝MC。∵BH＝HC，∴MH∥BD.又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，∴BD∥平面FGH.方法二在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE,H为BC的中点，∴BH∥EF，且BH＝EF，∴四边形BHFE是平行四边形，∴BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点,H为BC的中点，∴GH∥AB。又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，∴平面FGH∥平面ABED.∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH。（2)∵G,H分别为AC，BC的中点,∴GH∥AB。∵AB⊥BC,∴GH⊥BC.又H为BC的中点,∴EF∥HC，EF＝HC，∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE。∵CF⊥BC,∴HE⊥BC。又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H,∴BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面EGH。跟踪训练2已知三棱锥A－BCD中,∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E,F分别是AC，AD上的动点，且eq\f(AE,AC）＝eq\f(AF,AD）＝λ(0＜λ＜1）.(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面