平面与平面垂直的判定.ppt

2．3.2平面与平面垂直的判定定义判定两个平面垂直，判定的方法是：(1)找出两个相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个平面互相垂直．【证明】∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，∴△ABD与△BCD是等腰三角形，∴取BD的中点E，连结AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．AC＝a，∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，即二面角A－BD－C的平面角为90°.∴平面ABD⊥平面BCD.【规律方法】利用定义证两平面垂直的基本思路是:作出二面角的平面角，计算二面角的平面角为90°.此法较适合由等腰或等边三角形构成的几何体．变式1如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.证明：取BC的中点D，由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，可得AB＝AC＝SA；连接SD，AD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，要点二:面面垂直的判定定理的应用利用面面垂直的判定定理．具体作法是:在其中一个平面内寻找与另一个平面垂直的直线．例2如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【分析】由题目可获取以下主要信息：①EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC；②△ABC是等边三角形，CE＝CA＝2BD，ME＝MA.解答本题(1)，只要证明三角形全等，(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，证明平面ECA的垂线在BDM内，(3)与(2)类似．【证明】(1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.【规律方法】证明平面与平面垂直的方法有两个：(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角；(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．变式2(2010年高考课标全国卷)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．解：(1)证明：因为PH是四棱锥P－ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH、BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面PBD.要点三简单的二面角的求法求二面角的大小关键是作出二面角，作二面角的平面角的方法．法一：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．法二：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．法三：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图③，∠ABO为二面角α－l－β的平面角．(2)证明：由(1)知，PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.同时，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在直角△PCD中，PD＝CD＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D的平面角为45°.【规律方法】立体几何的计算并非单纯的数字计算，而是与作图和证明相结合的．立体几何计算题的主要步骤可以归纳为画—证—算三步．“画”是画图，添加必要的辅助线，或画出所要求的几何量，或进行必要的转化；“证”是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，然后进行最后一步计算．解：(1)证明：∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AC，SA⊥AB.又AB∩AC＝A，∴SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.又SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC，∴SC⊥BC.