数学建模1市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学建模(1)第一章数学模型概述第一节数学模型概念鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？用x,y分别表示鸡与兔，能够列出方程x+y=46,2x+4y=128实际上，这组方程就是上述鸡兔同笼问题数学模型。列出方程，原问题已转化为纯粹数学问题。方程解为x=28,y=18,这就是鸡兔问题答案。（2）九大行星发觉过程。（3）美国总统竞选模拟。（4）内燃机阵真。(5)冲压过程有限元模型。（6）处处都有数学模型问题。前中央发下售房价格通知中，有这么一个公式，依据房子成本价、使用年限以及工龄等可算出应售出价格。公式中有一括号，括号内是加减运算，其中一项是工龄，括号外是一乘法运算，因子是用房子使用年限组成“成新率”，含义是按使用年限对房屋进行折旧。数学建模准确定义数学建模是利用数学语言和工具，对部分现实世界信息（现象、数据）加以翻译、归纳产物。数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上分析、预测、决议或控制，在经过翻译和解释，回到现实世界中。最终，这些推论或结果必须经受实际检验，完成实践——理论——实践这一循环（如图1-1）。假如检验结果是正确或基本正确，即可用来指导实际，不然，要重新考虑翻译、归纳过程，修改数学模型。图1-1实际问题简化、假设建立模型模型应用验证分析模型求解作为一个数学思索方法，数学模型是对现实对象经过心智活动结构出一个能抓住其主要而且有用（经常是形象化或者是符号）表示。更详细，它是指对于现实世界某一特定对象，为了某个特定目标，做出一些必要简化和假设，动用适当数学工具得到一个数学结构。它或者能解释特定现象现实性态，或者能预测对象未来情况，或者能提供处理对象最优决议或控制。数学模型分类方法有各种，下面介绍惯用几个分类。（1）按照建模所用数学方法不一样，可分为：初等数学模型、人口模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等（2）按照数学模型应用领域不一样，可分为人口模型、交通模型、体育模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生理模型、生态模型、企业管理模型等。（3）按照人们对建模机理了解程度不一样，有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。（4）按照模型表现特征可分为：确定性与不确定性模型，不确定模型包含随机性与含糊性模型；静态模型与动态模型；离散模型与连续模型；线性模型与非线性模型。第二节建立数学模型方法与步骤二、数学建模基本步骤第三节数学建模实例解：设[t，t+dt]时间间隔内动物数量增量为dN，由题意，在dt时间内这类动物出生量与死亡量分别为nNdt与mNdt。依据增量=出生量-死亡量轻易得到dN=nNdt-mNdt即假如处始条件为N|t=0=N0，解上变量可分离方程，得则或写成从上式看出，假如n>m，则动物数量将无限增加；假如m>n，则动物数量将逐步降低，趋于灭亡。这么结论是非常天真，事实决不会如此简单。为此生物学家及数学家依据统计数据对n，m作了修正，使节果能更符合事实。比如，设n=a-bN，m=p+qN，式中a，b，p，q均为正常数。上两式说明出生率与死亡率已不再是常数。而是N线性函数，前者均匀随N减小，后者均匀随N增加。这时方程（1-1）化为令或其中No是t=0时动物数，不论初值No是多少，当时，N极限总为。能够用试验方法对不一样问题，像人口增加、传染病发生率等来确定（1—3）式图形。这个图形称为逻辑斯谛（Logistic）曲线。所以动物数量是174(百万)只。2.在越野赛中取胜方法越野赛在湖边举行，场地情况如图1-２所表示：出发点在陆地Ａ处，终点在湖心岛Ｂ处，Ａ，Ｂ南北相距5km，东西7km，湖岸位于Ａ点南侧２km，是一条东西走向笔直长堤。比赛中运动员可自行选择路线，但必须先从Ａ出发抵达长堤，再从长堤处下水游泳抵达终点Ｂ。已知运动员甲跑步速度为v1=18km，游泳速度为v2=6km。问他们应该在长堤何处下水才能使比赛用时最少？图1-2解以长堤作为x轴建立直角坐标系，A，B坐标分别是Ａ（０，２），Ｂ（７，－３）。设甲在x轴上R(x，0)处下水。为使耗时最少，运动员在陆上和水中运动路线应该都取直线。跑步耗时游泳耗时全程总耗时求，使到达极小。（1-5）令得（1-6）利用（1-6）可解出驻点:计算可知，类似可得比较端点与驻点处值，可知时到达最小值。所以，甲应该在处下水，才能使比赛全程用时最少。数学建模练习