天津市实验中学2017-2018学年高二上学期月考考试数学（理）试题+Word版含答案.doc

2017-2018学年度第一学期高二年级期中测试数学（理科）一、选择题：（每小题4分，共32分）1．在正方体中，异面直线与所成角为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】在正方体中，，连接，，则，∴为等边三角形，故，即与所成角为，即与所成角为．故选．2．下列说法正确的是（）．（）任意三点确定一个平面；（）圆上的三点确定一个平面；（）任意四点确定一个平面；（）两条平行线确定一个平面A．（）（）B．（）（）C．（）（）D．（）（）【答案】C【解析】（）．错误，三点不共线才能确定一个平面．（）．正确，圆上三点不共线，可以确定一个平面．（）．错误，四个点也不能在同一条直线上，才能确定一个平面．（）．正确．故选．3．在中,，的周长是，则定点的轨迹方程是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，∴，又∵的周长为，∴，∴顶点的轨迹是一个以、为焦点的椭圆．则，，，∴顶点的轨迹方程为．故选．4．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）．A．若，，，则B．若，，，，则C．若，，则D．若，，则【答案】D【解析】．一组线线平行，不能推出面面平行，故错；．若，则不能推出，故错；．与可能平行，可能相交，故错；．垂直于同一直线的两平面相互平行，正确．5．如图所示，直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】直线的斜率为，则，即，解得．6．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】见空间几何体下半部分为边长为的正方体，其上半部分是一个底面为边长为的正方形，高为的四棱锥，故其体积为两部分体积之和，．故选．7．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（）．（）（）截面（）（）异面直线与所成的角为A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴面，又∵平面平面，∴，∴截面．②正确；同理可得，故．①正确，又，，∴异面直线与所成的角为，故④正确．根据已知条件无法得到、长度之间的关系，故③错误．故选．8．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到平面的距离为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】点到平面的距离为，∵，，∵，即，∴．故选．二、填空题：（每小题4分，共16分）9．已知一个长方体的同一个顶点出发的三条棱长分别为，，，则这个长方体外接球的表面积为__________．【答案】【解析】长方体外接球的直径，∴半径，∴长方体外接球的表面积为．10．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________．【答案】【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆，∴，解得．11．把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，对于下列结论正确的有__________．（）；（）是正三角形；（）三棱锥的体积为；（）与平面成角．【答案】（）（）（）【解析】∵，，∴面，∴．①正确．，，，为正三角形．②正确．．③正确．与平面所成角．④错误．12．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，轴，则椭圆的方程为__________．【答案】【解析】设点在轴的上方，，，，由，可得，易得，又点、在椭圆上，故，化简得，∴，故椭圆的方程为．三、解答题：（本题共4小题，共52分）13．求经过两点，的椭圆的标准方程，并求出它的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．【答案】标准方程：．长轴长：．短轴长：．离心率：．焦点：，．顶点坐标：，，，．【解析】设所求椭圆方程为，，依题意，得，故所求椭圆的标准方程为．长轴长，短轴长，离心率：，焦点为，，顶点坐标，，，．14．如图，在棱长为的正方体中，，分别是和的中点．（）求异面直线与所成角的余弦值．（）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】（）．（）存在，．【解析】（）取中点，连结，又∵为中点，∴，连结，则即为异面直线与所成角，∵为中点，正方体边长为，∵，，∴，故异面直线与所成角的余弦值为．（）存在，在棱上取一点，由题意可知，面，连结，交于点，易知，，连结，则为二面角的平面角，当时，即，解得，∴当时，二面角的大小为．15．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．（）求证：平面．（）求直线与平面所成角的正弦值．（）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】（）见解析．（）．（）存在，．【解析】（）∵面面，面，且，∴面，∴，又∵，，∴面．（）如图所示建立空间直角坐标系，设直线与平面所成角为，∴，，，，则有，，，设平面的法向量为．由，得，∴．又∵直线与平面所成角为锐角，∴所求线面角的正弦值为．（）假设存在这样的点，设点的坐标为．则，要使直线面，即需要求．∴，解得，此时．16．已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为