高考数学复习点拨：关注平面向量的“交汇性”.doc

关注平面向量的“交汇性”山东齐相国创新和能力立意是数学学习的主旋律.由于平面向量具有的代数形式与几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，因此平面向量交汇的综合性试题经常出现在各类试题中，现举例如下：平面向量与映射、解析几何的交汇已知向量，满足且．求向量．若映射①求映射下的原象；②若将看作点的坐标，问是否存在直线，使得直线上的任一点在映射的作用下的点仍在该直线上，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．解：（1）设，由得．又且，解得，所以．（2）①由题意，令，得，解得．所以的原象是．②假设存在直线满足题设，平行于坐标轴的直线显然不适合，设所求的直线方程为．在该直线上任取一点，经过映射的作用得到点，则仍在该直线上，所以，即．比较当时，，无解，故这样的直线不存在．当时，，即，解得：．故这样的直线存在，其方程为或．2．平面向量与函数的交汇例2设向量，，且满足｜｜＝｜｜（为正实数）．（1）求证：．（2）设与的数量积表示为关于的函数，求；（3）求函数的最小值及取得最小值时与的夹角．证明：（1），，，．（2）由｜｜＝｜｜，得（）（），化简，得，故．由，得．，方程有解，，解得，，即时，取最小值为．这时，设与的夹角为，则，又，与的夹角为．3．平面向量与三角的交汇例3已知两点且点满足．求点的轨迹；解：设点，则，，．，，．由题设，，．所求点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆．4．平面向量与物理的交汇例4点在平面上作匀速直线运动，速度是每秒，当时，点在处，求点满足直线方程，并求时点坐标．解：设点的坐标为，则，即，（1）消去，得．当时代入（1）式，得此时点的坐标为．