关注平面向量的“交汇性”.doc

关注平面向量的“交汇性”

创新和能力立意是数学学习的主旋律.由于平面向量具有的代数形式与几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，因此平面向量交汇的综合性试题经常出现在各类试题中，现举例如下：
平面向量与映射、解析几何的交汇
已知向量，满足且．
求向量．
若映射
①求映射下的原象；②若将看作点的坐标，问是否存在直线，使得直线
上的任一点在映射的作用下的点仍在该直线上，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
解：（1）设，由得．又且，解得，所以．
（2）①由题意，令，
得，解得．所以的原象是．
②假设存在直线满足题设，平行于坐标轴的直线显然不适合，
设所求的直线方程为．在该直线上任取一点，经过映射的作用得到点，则仍在该直线上，所以，即．比较
当时，，无解，故这样的直线不存在．
当时，，即，解得：．故这样的直线存在，其方程为或．
2．平面向量与函数的交汇
例2设向量，，
且满足｜｜＝｜｜（为正实数）．
（1）求证：．
（2）设与的数量积表示为关于的函数，求；
（3）求函数的最小值及取得最小值时与的夹角．
证明：（1），，
，
．
（2）由｜｜＝｜｜，得（）（），
化简，得，故．
由，得．
，方程有解，，解得，，即时，取最小值为．
这时，设与的夹角为，则，又，与的夹角为．
3．平面向量与三角的交汇
例3已知两点且点满足．求点的轨迹；
解：设点，则，，．
，，．
由题设，，．
所求点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆．
4．平面向量与物理的交汇
例4点在平面上作匀速直线运动，速度是每秒，当时，点在处，求点满足直线方程，并求时点坐标．
解：设点的坐标为，则，
即，（1）
消去，得．
当时代入（1）式，得此时点的坐标为．