高中数学讲义100微专题071求圆锥曲线方程.doc

微专题71求曲线（或直线）的方程一、基础知识：1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理2、所学方程中字母的几何意义（1）直线：：斜率；：直线所过的定点（2）圆：:圆心的坐标；圆的半径（3）椭圆：：长轴长，焦半径的和；短轴长；：焦距（4）双曲线：：实轴长，焦半径差的绝对值；虚轴长；：焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着展开，通过这些条件也可以求出的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）：离心率：；通径（焦点弦长的最小值）：等（5）抛物线：焦准距3、待定系数法中方程的形式：（1）直线与曲线方程通式：①直线：，②圆：③椭圆：标准方程：（或，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：④双曲线：标准方程：（或，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：⑤抛物线：标准方程：等抛物线方程通式：，（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。常见的曲线系方程如下：①过相交直线的交点的直线系方程为：即（其中为参数）②与直线平行的直线系方程为：（其中为参数）③与直线垂直的直线系方程为：（其中为参数）④过相交两圆交点的圆系方程为：即⑤若直线与圆有公共点，则过公共点的圆系方程为：即⑥相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为：二、典型例题：例1：已知椭圆的长轴长为4，若点是椭圆上任意一点，过原点的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，且，则椭圆的方程为（）A.B.C.D.思路：由已知可得，所以只需利用条件求出的值即可，设，，则。则，从而，由分子分母平方差的特点及在椭圆上联想到点差法，得：，所以即，所以椭圆方程为答案：D例2：椭圆的右焦点为，右顶点，上顶点分别为，且（1）求椭圆的离心率（2）若斜率为的直线过点，且交椭圆于两点，，求直线的方程及椭圆的方程解：（1）由椭圆方程可得：（2）由（1）可得椭圆方程为：，由已知可得，直线的方程为联立方程：，消去可得：，即：，解得：经检验：当，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件椭圆方程为例3：已知直线，椭圆，（1）若无论为何值，直线与椭圆均有公共点，试求的取值范围及椭圆离心率关于的函数关系式（2）当时，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，若，求椭圆的方程解：（1）由可知直线过定点与恒有公共点在椭圆上或椭圆内的范围为若，则若，则综上所述：（2）由已知可得：，设联立直线与椭圆方程可得：，消去可得：，整理后可得：可得：，即，解得：或（舍）椭圆方程为例4：过点，向椭圆引两条切线，切点分别为，且为正三角形，则最大时椭圆的方程为（）A.B.C.D.思路：由题意可知本题确定值的关键在于达到最大值时，的取值，那么需要得到关于的关系（等式或不等式），作出图形可知，若为正三角形，则的斜率为，进而能够得到的方程。以为例：，与椭圆方程联立并消元可得到：，所以，则考虑利用均值不等式得到，等号成立条件为，再结合即可求出的值，从而确定椭圆方程解：依图可知：的方程为：，联立方程：，消去：，整理后可得：与椭圆相切即由均值不等式可得：（等号成立条件为：）的最大值为，此时椭圆方程为：答案：D例5：已知点是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的两个端点，且是正三角形（1）求椭圆的离心率（2）直线与以为直径的圆相切，并且被椭圆截得的弦长的最大值为，求椭圆的标准方程解：（1）设椭圆标准方程为，焦距为，由是正三角形可得：，因为解得：（2）由（1）可得椭圆的方程为：，设与椭圆的交点为若斜率不存在，可得弦长若斜率存在，设，联立方程：，整理可得：与圆相切，代入到上式可得：（等号成立条件：）椭圆方程为：例6：设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为（1）求的离心率（2）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程解（1）由在线段上和可得：（2）由（1）中，可设由可得：，设的对称点依题意可得：可解得：椭圆方程为例7：已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为（1）求椭圆的离心率（2）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程解：（1）过的直线的方程为：，由可得：（2）由