高中数学讲义100微专题015求函数的单调区间.doc

微专题15函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。一、基础知识：1、函数的单调性：设的定义域为，区间，若对于，有，则称在上单调递增，称为单调递增区间。若对于，有，则称在上单调递减，称为单调递减区间。2、导数与单调区间的联系（1）函数在可导，那么在上单调递增此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型：，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：的单调递增区间为，而，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为在处的导数为0，但是位于单调区间内。（2）函数在可导，则在上单调递减（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由的符号能否推出在的单调性呢？如果不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。（这也是求函数单调区间的理论基础）3、利用导数求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域（2）求出的导函数（3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间（4）列出表格4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解（2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式（3）一般可令，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）（4）若的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若的解集为，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么是定义域上的减函数（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减等。如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。5、求单调区间的一些注意事项（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例如函数的单调减区间为，若写成就出错了（0不在定义域内）（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号。有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。依然以为例，如果写成，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件。由性质可知，如果在两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的。6、二阶导函数的作用：①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于而言，决定的是的单调性。当时，单调递增，意味着随的增大而增大，由于导数的几何意义为切线斜率，故切线斜率随的增大而增大；同理，当时，单调递减，则切线斜率随的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？单调增有三种：其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同，所以如果说是决定函数单调性的，那么在已知单调性的前提下，能够告诉我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。（1）当，其图像特点为：我们称这样的函数为下凸函数（2）当，其图像特点为：我们称这样的函数为上凸函数②代数意义：当通过无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单调性，再看能否利用条件判断符号。二、典型例题：例1：下列函数中，在上为增函数的是（）A.B.C.D.思路：本题只需分析各个函数在上的单调性即可。A选项通过其图像可知显然在不单调；B选项，当时，，所以在单调递增；C选项可得在单调递减，在单调递增；D选项，可得在单调递增，在单调递减。综上，B符合条件答案：B例2：函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.思路：先分析的定义域：，再观察解析式可得可视为函数的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，可分别分析两个函数的单调性，对于而言，对是减函数。所以如要求得增区间，则中对也应为减函数。结合定义域可得的单调增区间为答案：D例3：求函数的单调区间（2009宁夏，21题（1））思路：第一步：先确定定义域，定义域为，第二步：求导：,第三步：令,即第四步：处理恒正恒负的因式，可得第五步：求解,列出表格例4：求函数的单调区间解：定义域令导数解得：（通过定义域大大化简解不等式的过程）例5：求函数的单调区间解：令，即解不等式，解得的单调区间为↘↗↘例6：求函数的单调区间思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析解：，当时，为减函数当时，在单调递增综上所述：在单调递减，在单调递增小炼有话说：（1）对于含绝