广东省东莞市2015届高三上学期期末数学试卷（理科） WORD版含解析.doc

广东省东莞市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）i是虚数单位，记z=，则|z|=（）A．+B．C．﹣+iD．2．（5分）抛物线y2=﹣4x的准线方程为（）A．x=﹣1B．x=1C．x=2D．x=﹣23．（5分）如图，容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）A．B．C．D．4．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．8B．16C．24D．485．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数Z=x+2y的取值范围是（）A．[﹣2，0]B．[0，+∞]C．[0，2]D．[﹣2，2]6．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：=ax（a＞0，且a≠1），且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，则实数a的值为（）A．3B．C．3或D．27．（5分）已知与为不共线的单位向量，其夹角θ，设=λ+，=+μ，有下列四个命题：p1：|+|＞|﹣|⇔θ∈（0，）；p2：|+|＞|﹣|⇔θ∈（，π）；p3：若A，B，C共线⇔λ+μ=1；p4：若A，B，C共线⇔λ•μ=1．其中真命题的是（）A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p48．（5分）在实数集R内，我们用“＜”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在向量集上也可以定义一个“序”的关系，记为“⊂”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”，给出如下四个命题：①若⊂，则||≤||；②若⊂，⊂，则，则⊂；③若⊂，则对于任意，都有（+）⊂（+）成立；④对于实数λ≥0，若⊂，则λ⊂λ成立；其中所有命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）如图所示的流程图，输出的结果是10．（5分）设f（x）=xm+ax的导函数f′（x）=2x+1，则f（x）dx的值等于．11．（5分）若（1﹣2x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），则+++…+的值为．12．（5分）将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．13．（5分）函数f（x）=sinx﹣x的零点个数是．三、坐标系与参数方程选做题14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0被曲线C：ρ=2所截得弦的中点的极坐标为．四、几何证明选讲做题15．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=．五、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为π，且是它的一个零点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若α，β∈[0，]，f（+）=，f（+）=，求cos（α+β）的值．17．（12分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．18．（14分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（，）（1）求椭圆C的方程．（2）设点Q是椭圆C上一个动点，点A的坐标为（﹣1，0），记|QA|2=1+λ|QO|2，求λ的最大值．20．（14分）已知an=logn+1（n+2）（n∈N+），把使得乘积a1•a2•a3…an的整数的数n叫做“穿越数”，并把这些“穿越数”由小到大排序构成的数列记为{bn}（m∈N+）（1）求区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和；（2）证明：++…+＜．21．（14分）已知函数f（x）=•（x2+2x+a）+•ln|x|，其中a∈R，g（x）=．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上的两点，且x1＜x2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值，并指出此时