2022秋新教材高中数学 课时跟踪检测（二十九）直线与平面垂直的判定 新人教A版必修第二册.doc

直线与平面垂直的判定层级(一)“四基”落实练1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定解析：选A因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．故选A.2．正方体ABCDA1B1C1D1中与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1DBC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB1解析：选D∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1.故选D.3.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：选A∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°.故选A.4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有()A．1条B．2条C．3条D．无数条解析：选A显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB.又AB∥C1D1，则l⊥C1D1.又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1.同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．故选A.5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定解析：选B易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.故选B.6.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.同理得CD⊥PD.故共有4个直角三角形．答案：47．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝eq\r(2)，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．解析：如图所示，连接B1D1.则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝eq\f(BB1,B1D1)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，则∠BD1B1＝30°.答案：30°8.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.证明：(1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1.(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB⊂平面A1B1BA，A1A⊂平面A1B1BA，所以CD⊥平面A1B1BA.因为AB1⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD⊂平面CED，CE⊂平面CED，所以AB1⊥平面CED.层级(二)能力提升练1．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面()A．有且只有一个B．可能存在，也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析：选B当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个；当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在．2．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．解析：如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又PD∩PA＝P，所以CB⊥平面PAD.所以AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).答案：4eq\r(5)3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________．解析：BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.答案：线段B1C4.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥平面BEF.证明：如图，连接PE，EC.在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD