2022年新教材高中数学 课时检测5 向量的数量积（含解析）新人教A版必修第二册.doc

向量的数量积(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为135°,则a·(-b)等于()A.12B.-12C.12D.-12【解析】选C.因为a·(-b)=-a·b=-|a||b|cos135°=-4×6×=12.【补偿训练】1.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,则·=()A.20B.-20C.20D.-20【解析】选B.·=||||cos120°=5×8×=-20.2.已知△ABC中,=a,=b,若a·b<0,则△ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.任意三角形【解析】选A.由a·b<0易知向量a与b的夹角为钝角.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cosθ==,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为.3.已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选C.因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cos<a,b>=3,所以cos<a,b>=-,又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=.4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为()A.-6B.6C.3D.-3【解析】选B.因为c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.5.如图所示,△ABC是顶角为120°的等腰三角形,且AB=1,则·等于()A.-B.C.-D.【解析】选C.因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形,且AB=1,所以BC=,所以·=1××cos150°=-.6.(多选题)已知a,b,c为非零向量,下列说法不正确的是()A.若|a·b|=|a||b|,则a∥bB.若a·c=b·c,则a=bC.若|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|D.(a·b)|c|=|a|(b·c)【解析】选BCD.|a·b|=||a||b|cosθ|=|a||b|,所以cosθ=±1,即θ=0°或180°,此时a∥b;A正确;选项B中,设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,因为a·c=b·c,所以|a||c|cosθ1=|b||c|cosθ2,即|a|cosθ1=|b|cosθ2,B不一定正确;C项中,a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,结论不成立;D项中,a与b的夹角,b与c的夹角不一定相等,所以不一定成立.【补偿训练】对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中真命题是()A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c【解析】选B.A中,若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,故A错;C中,若a2=b2,则|a|=|b|,C错;D中,若a·b=a·c,则可能有a⊥b,a⊥c,但b≠c,故只有选项B正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2019·天津高考)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=________.【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形,因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.因为∠BAD=30°,AB=2,所以AF=2,即=.因为==-=-,所以·=(-)·=·--=×2×5×-12-10=-1.答案:-18.已知e1、e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若k=1,则a·b=______;若a·b=0,则实数k的值为______.【解析】当k=1时a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=-e1e2-2=-.由a·b=0得(e1-2e2)·(ke1+e2)=0.整理,得k-2+(1-2k)cos=0,解得k=.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知:如图,两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,点C是以O为圆心的劣弧的中点.求:(1)|+|的值.(2)·的值.【解析】(1)因为和的长度为1,夹角为,所以·=||||cos=-,所以|+|===1.(2)因为点C是以O为圆心的劣弧的中点,所以∠AOC=∠BOC=,所以·=·=,所以·=(-)·(-)=·-·-·+·=--+1=.【补偿训练】已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)(